Pré-VestibularGeometria Analitica - Area do Paralelogramo Tópico resolvido

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Geometria Analitica - Area do Paralelogramo

Mensagem não lida por Ronny »

A area de um paralelogramo [tex3]ABCD[/tex3] sabendo que: [tex3]D(6;4)[/tex3] ; a equacao de um lado [tex3]x-2y=0[/tex3] e a equacao do lado [tex3]BC[/tex3] e [tex3]x-y-1=0[/tex3] e de:

[tex3]A) 2
[/tex3]
[tex3]B) 3[/tex3]

[tex3]c) 5
[/tex3]
[tex3]D) 4[/tex3]
Resposta

Letra A




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Re: Geometria Analitica - Area do Paralelogramo

Mensagem não lida por Ronny »

vai uma ajuda pessoal?




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csmarcelo
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Re: Geometria Analitica - Area do Paralelogramo

Mensagem não lida por csmarcelo »

A interseção das duas retas dadas dará as coordenadas do segundo vértice.

[tex3]x-2y=0\rightarrow y=\frac{x}{2}[/tex3]

[tex3]x-y-1=0\rightarrow y=x-1[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}=x-1\rightarrow\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}[/tex3]

Fazendo as devidas substituições, verificamos que o ponto D não pertence à nenhuma das retas acima e, portanto, não é adjacente ao ponto de coordenadas [tex3](2,1)[/tex3] , que, por esse motivo, chamaremos de B.

Repare, agora, que cada um dos outros dois lados (aos quais, necessariamente, D pertence) são paralelos a um dos dois primeiros e, portanto, tendo como única diferença em suas equações reduzidas o coeficiente linear.

Com isso, descobrimos que as equações das outras retas são [tex3]\frac{x}{2}+1[/tex3] e [tex3]x-2[/tex3] .

Calculando as interseções adequadamente, ou seja, entre as retas não paralelas, encontramos os dois pontos que restam, A e C, adjacentes tanto a B quanto a D, de, respectivamente, coordenadas [tex3](4,2)[/tex3] e [tex3](4,3)[/tex3] .

Agora, basta escolhermos um par de pontos adjacentes para calcularmos o comprimento da base e depois um dos outros dois pontos para calcularmos a altura relativa.

[tex3]d(B,A)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]d(C,AB)=\frac{|a\cdot x_C+\cdot y_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3] , onde, apenas para ficar claro, considerando a equação geral da reta AB, [tex3]a[/tex3] é o coeficiente do termo que contém a incógnita [tex3]x[/tex3] , [tex3]b[/tex3] é o coeficiente do termo que contém a incógnita [tex3]y[/tex3] e [tex3]c[/tex3] é o termo independente.

Área do paralelogramo: [tex3]\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot\sqrt{5}=2[/tex3]



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Re: Geometria Analitica - Area do Paralelogramo

Mensagem não lida por Ronny »

Percebi tudo, muito obrigado ! Apos sua explicacao teorica, eu acabei resolvendo o exercico, e so via se batia com o que voce fazia, para achar a altura, eu usei outro proceso, temos que a altura sera perpendicular ao lado relativo( neste DC) suporte do ponto A, entao uma vez que eu ja tenho a equacao da recta do lado DC, posso achar o coeficiente angular da altura h ( a partir da condicao de perpendicularismo) e de enseguida achar a equacao geral da altura a partir do ponto em A, e depois para achar a distancia basta simplesmente relacionar a equacao geral da altura com o ponto A. Bate ? Nao tentei ainda :D



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Re: Geometria Analitica - Area do Paralelogramo

Mensagem não lida por Ronny »

Percebi tudo, muito obrigado ! Apos sua explicacao teorica, eu acabei resolvendo o exercico, e so via se batia com o que voce fazia, para achar a altura, eu usei outro proceso, temos que a altura sera perpendicular ao lado relativo( neste DC) suporte do ponto A, entao uma vez que eu ja tenho a equacao da recta do lado DC, posso achar o coeficiente angular da altura h ( a partir da condicao de perpendicularismo) e de enseguida achar a equacao geral da altura a partir do ponto em A, e depois para achar a distancia basta simplesmente relacionar a equacao geral da altura com o ponto A. Bate ? Nao tentei ainda :D



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csmarcelo
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Re: Geometria Analitica - Area do Paralelogramo

Mensagem não lida por csmarcelo »

Pelo que entendi, você teria que achar o ponto de interseção da altura com o lado DC e, então, calcular a distância de A até esse ponto.



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Re: Geometria Analitica - Area do Paralelogramo

Mensagem não lida por Ronny »

Sim. seria mais trabalhoso, de facto ! mas Acredito que tambem daria certo, por que afinal de contas nosso objectivo e achar a altura, que essa mesma altura parte de um determinando ponto e intersecta um lado( ortogonalmente), e como nos ja temos a equacao desse lado que essa tal altura vai tocar, e conhecemos tambem as coordenadas do ponto que ela parte( em que essa ponto e o ponto suporte relativa ao lado que ela intersecta), e possivel acharmos a equacao da altura e usarmos a equacao da altura e o ponto de onde ela parte para acharmos a sua distancia.



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Fev 2018 25 19:06

Re: Geometria Analitica - Area do Paralelogramo

Mensagem não lida por csmarcelo »

Sim, sim. De fato é totalmente possível. Seu raciocínio está perfeito. A fórmula que usei é só um "atalho" que, provavelmente, deriva dele.

Última edição: csmarcelo (Dom 25 Fev, 2018 21:04). Total de 1 vez.



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