Pré-Vestibular

Se [tex3]z[/tex3] e [tex3]w[/tex3] são números complexos localizados, respectivamente, no I e II quadrantes do plano complexo, é correto afirmar:

a) [tex3]z+ w[/tex3] está no II ou III quadrantes.
b) [tex3]w-z[/tex3] está no II quadrante
c) [tex3]z\cdot w[/tex3] está no III quadrante
d) [tex3]w/z[/tex3] está no I ou II quadrantes
e) conjugado de [tex3]w[/tex3] está no IV quadrante.

Resposta

Gabarito : d

Você sabe em qual quadrante um número complexo está pela análise de suas partes real e imaginária, visto que elas determinam as coordenadas de um ponto no plano de Argand-Gauss.

A parte real de termina a abscissa. A parte imaginária, a ordenada.

[tex3]z=a+bi[/tex3]

Como [tex3]z[/tex3] está no primeiro quadrante, [tex3]a>0[/tex3] e [tex3]b>0[/tex3] .

[tex3]w=c+di[/tex3]

Como [tex3]w[/tex3] está no segundo quadrante, [tex3]c<0[/tex3] e [tex3]d>0[/tex3] .

Agora é só analisar os sinais de cada uma das partes do número complexo resultante da expressão em cada uma das opções.

a) [tex3]z+w=(a+c)+(b+d)i[/tex3]

[tex3]b+d[/tex3] sempre será positivo, mas o sinal de [tex3]a+c[/tex3] dependerá de seus valores. Os quadrantes que possuem ordenada positiva são o I e o II.

b) [tex3]w-z=(c-a)+(d-b)i[/tex3]

[tex3]c-a[/tex3] sempre será negativo, mas o sinal de [tex3]d-b[/tex3] dependerá de seus valores. Os quadrantes que possuem abscissa negativa são o II e o III.

c) [tex3]w\cdot z=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i[/tex3]

[tex3]ac-bd[/tex3] sempre será negativo, mas o sinal de [tex3]ad+bc[/tex3] dependerá de seus valores. Os quadrantes que possuem abscissa negativa são o II e o III.

d) [tex3]\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}=\frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{(ac+bd)+(ad-bc)i}{a^2+b^2}[/tex3]

[tex3]ad-bc[/tex3] sempre será positivo, assim como [tex3]a^2+b^2[/tex3] , mas o sinal de [tex3]ac+bd[/tex3] dependerá de seus valores. Os quadrantes que possuem ordenada positiva são o I e o II.

e) [tex3]\overline{w}=c-di[/tex3]

Se [tex3]d[/tex3] e positivo, [tex3]-d[/tex3] é negativo e, portanto, se [tex3]w[/tex3] está no II quadrante, [tex3]\overline{w}[/tex3] está no III.

Entendi... Muito obrigada !!

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