Pré-Vestibular ⇒ (UERJ 2018) Probabilidade Tópico resolvido

[IGFX]

Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6 , cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é considerado vencedorse obtiver pelo menos três resultados pares. A probabilidade de um jogador vencer é:

A) 3/5
B) 2/3
C) 1/5
D) 1/2

Resposta

---

Gabarito (D)

[Optmistic]

A chance de obter par em uma jogada = 1/2

o fracasso de não obter par em uma rodada = 1/2

Pelo menos 3 pares = 3 , 4 ou 5 pares

Usaremos binomial ...

P = C5,3 . 1/2^3 . 1/2^(5-3) + C5,4 . 1/2^4 . 1/2^(5-4) + C5,5 . 1/2^5 . 1/2^(5-5)

P = 5!/2!.3! . 1/8 . 1/2² + 5!/4!.1! . 1/16 . 1/2^1 + 5!/5!.0! . 1/32 . 1/2º

P = 5.4/2 . 1/8 . 1/4 + 5 . 1/16 . 1/2 + 1 . 1/32 . 1

P = 10 . 1/32 + 5.1/32 + 1/32

P = 10/32 + 5/32 + 1/32

P = 16/32

P = 1/2

ou

50%

[IGFX]

A chance de obter par em uma jogada = 1/2

o fracasso de não obter par em uma rodada = 1/2

Pelo menos 3 pares = 3 , 4 ou 5 pares

Usaremos binomial ...

P = C5,3 . 1/2^3 . 1/2^(5-3) + C5,4 . 1/2^4 . 1/2^(5-4) + C5,5 . 1/2^5 . 1/2^(5-5)

P = 5!/2!.3! . 1/8 . 1/2² + 5!/4!.1! . 1/16 . 1/2^1 + 5!/5!.0! . 1/32 . 1/2º

P = 5.4/2 . 1/8 . 1/4 + 5 . 1/16 . 1/2 + 1 . 1/32 . 1

P = 10 . 1/32 + 5.1/32 + 1/32

P = 10/32 + 5/32 + 1/32

P = 16/32

P = 1/2

ou

50%

Muito obrigado.

[skulllsux189]

tem alguma resolução sem binominal? meu cérebro não suporta essa equação rsrs;

[MateusQqMD]

Olá, skulllsux189

Como o colega Optmistic fez, também irei dividir o problema em casos.

1) Há apenas três pares entre os cinco lançamentos

Inicialmente devemos determinar quais desses cinco lançamentos serão pares. Há [tex3]C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10[/tex3]

modos de isso ser feito. Feita essa escolha, note que os resultados ímpares já estarão determinados (são os dois lançamentos que sobraram). A chance de obtermos um par, assim como um ímpar, em qualquer desses lançamentos é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

. Como queremos obter 3 resultados pares, [tex3]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \( \frac{1}{2} \)^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \( \frac{1}{2} \)^3[/tex3]

. De forma semelhante, como queremos obter, também, 2 resultados ímpares, [tex3]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \( \frac{1}{2} \)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \( \frac{1}{2} \)^2[/tex3]

A resposta para esse caso é [tex3]10 \cdot \( \frac{1}{2} \)^3 \cdot \( \frac{1}{2} \)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10 \cdot \( \frac{1}{2} \)^3 \cdot \( \frac{1}{2} \)^2[/tex3]

2) Há apenas quatro pares entre os cinco lançamentos

A redação será a mesma feita para o item a). Sendo assim, irei apenas escrever os resultados.

[tex3]C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \( \frac{1}{2} \)^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \( \frac{1}{2} \)^4[/tex3]

e

[tex3]\frac{1}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} [/tex3]

A resposta para esse caso é [tex3]5 \cdot \( \frac{1}{2} \)^4 \cdot \( \frac{1}{2} \)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5 \cdot \( \frac{1}{2} \)^4 \cdot \( \frac{1}{2} \)[/tex3]

3) Os cinco resultados obtidos são pares

Como foi feito para o item b), irei apenas escrever os resultados.

[tex3]C_5^5 = \frac{5!}{5!0!} = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^5 = \frac{5!}{5!0!} = 1[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \( \frac{1}{2} \)^5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \( \frac{1}{2} \)^5[/tex3]

Veja que não é necessário utilizarmos a chance de obtermos algum ímpar, pois todos os resultados que queremos são pares!

A resposta para esse caso é [tex3]1 \cdot \( \frac{1}{2} \)^5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 \cdot \( \frac{1}{2} \)^5[/tex3]

Portanto, a resposta da questão é [tex3]1) + 2) + 3) = 10 \cdot \( \frac{1}{2} \)^3 \cdot \( \frac{1}{2} \)^2 + 5 \cdot \( \frac{1}{2} \)^4 \cdot \( \frac{1}{2} \) + 1 \cdot \( \frac{1}{2} \)^5 = \frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1) + 2) + 3) = 10 \cdot \( \frac{1}{2} \)^3 \cdot \( \frac{1}{2} \)^2 + 5 \cdot \( \frac{1}{2} \)^4 \cdot \( \frac{1}{2} \) + 1 \cdot \( \frac{1}{2} \)^5 = \frac{1}{2}[/tex3]

[ALANSILVA]

https://www.youtube.com/watch?v=dGHzT2Izi50
Solução rápida e simples