Pré-Vestibular ⇒ Números complexos (DIFÍCIL) Tópico resolvido

[Meduesb17]

Por volta de 1940, Leonhard Euler admitiu a validade da expansão de Taylor para números complexos, obtendo [tex3]e^{ix} = 1+ \frac{ix}{1!} -\frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - ...[/tex3]

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[tex3]e^{ix} = 1+ \frac{ix}{1!} -\frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - ...[/tex3]

E conclui que [tex3]e^{iφ}= \cos φ + i\sen φ[/tex3]

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[tex3]e^{iφ}= \cos φ + i\sen φ[/tex3]

. Aplicando esse desenvolvimento, pôde-se representar um número complexo qualquer [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

, de módulo [tex3]ρ[/tex3]

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[tex3]ρ[/tex3]

e argumento [tex3]φ[/tex3]

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[tex3]φ[/tex3]

, sob forma exponencial [tex3]z=ρe^{φi}[/tex3]

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[tex3]z=ρe^{φi}[/tex3]

.

Nessas condições, sendo [tex3]z_1= 10e^{\frac{5πi}{3}}[/tex3]

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[tex3]z_1= 10e^{\frac{5πi}{3}}[/tex3]

e [tex3]z_2= 6e^{πi}[/tex3]

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[tex3]z_2= 6e^{πi}[/tex3]

, a soma [tex3]z_1+ z_2[/tex3]

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[tex3]z_1+ z_2[/tex3]

escrita na forma algébrica é igual a :

Resposta

---

gabarito: [tex3]-1-5\sqrt3i[/tex3]

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[tex3]-1-5\sqrt3i[/tex3]

[jvmago]

Creio que no enunciado deveria ser [tex3]Z2-Z1=-6+5-5\sqrt{3}i=-1-5\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]Z2-Z1=-6+5-5\sqrt{3}i=-1-5\sqrt{3}[/tex3]

[PedroCosta]

[tex3]\alpha e^{\gamma\cdot i} = \alpha(cos\gamma +isen\gamma)[/tex3]

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[tex3]\alpha e^{\gamma\cdot i} = \alpha(cos\gamma +isen\gamma)[/tex3]

[tex3]z_1 + z_2= 10\cdot (\cos \frac{5\pi}{3} + i \sen\frac{5\pi}{3}) + 6 \cdot (\cos\pi +i \sen\pi)\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 10 \cdot (\cos(2\pi-\frac{\pi}{3}) + i \sen(2\pi-\frac{\pi}{3}) + 6\cdot (\cos\pi +i \cancelto{0}{\sen\pi})\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 10\cdot (\cos\ \frac{\pi}{3} -i\sen\frac{\pi}{3}) + 6\cdot \cos\pi\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 10\cdot (\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) +6\cdot (-1)\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 5 -5\sqrt{3}i-6\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -1 -5\sqrt{3}i[/tex3]

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[tex3]z_1 + z_2= 10\cdot (\cos \frac{5\pi}{3} + i \sen\frac{5\pi}{3}) + 6 \cdot (\cos\pi +i \sen\pi)\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 10 \cdot (\cos(2\pi-\frac{\pi}{3}) + i \sen(2\pi-\frac{\pi}{3}) + 6\cdot (\cos\pi +i \cancelto{0}{\sen\pi})\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 10\cdot (\cos\ \frac{\pi}{3} -i\sen\frac{\pi}{3}) + 6\cdot \cos\pi\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 10\cdot (\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) +6\cdot (-1)\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 5 -5\sqrt{3}i-6\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -1 -5\sqrt{3}i[/tex3]

[Meduesb17]

Entendi... Muito obrigada !!