Pré-Vestibular

Considerando-se a matriz [tex3]N=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3] , é correto afirmar que a soma [tex3]N+ N^2+ N^3+ ...+ N^{10}[/tex3] é igual a :

01) [tex3]\begin{pmatrix}
5 & 5 \\
5 & 5 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

A matriz N será: 0x0 - 1x1 = -1
Elevando N a cada expoente pedido na questão:
-1^1= -1
-1² = 1
-1 ³ = -1
-1^4 = 1
-1^5 = -1
-1^6 = 1
-1^7 =-1
-1^8 = 1
-1^9 = -1
-1^10 = 1

Agora somando isso tudo dará 0. Portanto, a matriz terá que ser nula e é a letra 'A'. Veja:
5.5 - 5.5 = 0

Outra dúvida... Observando as alternativas a letra "d" também é matriz nula, pois 10.10 - 10.10 = 0. Como sei que a a letra "a" é a verdadeira?

Meduesb17 escreveu: ↑
Sáb 03 Fev, 2018 19:45
Outra dúvida... Observando as alternativas a letra "d" também é matriz nula, pois 10.10 - 10.10 = 0. Como sei que a a letra "a" é a verdadeira?

Difícil te responder, pois tu me mostrou só a alternativa 'A'. :/ Bote a questão inteira para eu responder completamente a sua dúvida ou alguém do site.

As alternativas são as seguintes:

Minha interpretação foi que a questão pediu para calcular determinante 'N' e elevar e achar uma correspondente. Aí agora eu realmente não sei tendo em vista que não sou nenhum expert em matrizes, pois isso não tá no edital no enem e só sei o básico, pois vi no colégio há algum tempo

. Se alguém puder ajudar.

[tex3]N = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
-
Para [tex3]N^2[/tex3] :
[tex3]N\cdot N = N^2 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Para [tex3]N^3[/tex3] :
[tex3]N^3 = N^2\cdot N =\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Para [tex3]N^4[/tex3] :
[tex3]N^4 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Para [tex3]N^5[/tex3] :
[tex3]N^5 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Podemos generalizar para N com expoente par:
[tex3]N^{2n} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Para n = 1:
[tex3]N^{2} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
O que é verdadeiro como calculamos acima.
Suponha que seja verdadeiro para n = k:
[tex3]N^{2k} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Logo deve ser verdadeiro também para n = k + 1:
[tex3]N^{2(k+1)} = N^{2k+2} = N^{2k}\cdot N^{2} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Como provamos para [tex3]2k[/tex3] e 2, então é válido para k+1. Raciocínio semelhante para expoente ímpar.
-
Organizando a soma de maneira conveniente:
[tex3]N + N^2+N^3 + ... + N^{10} = N+N^{10} + N^{2}+N^{9} +...+N^{5}+N^{6}[/tex3]
Veja que temos 5 somas do tipo:
[tex3]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Portanto:
[tex3]N + N^2+N^3 + ... + N^{10} =\begin{pmatrix}
5 & 5 \\
5 & 5 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Uma outra alternativa de montar a matriz genérica de potências: (Apenas por curiosidade)

Como [tex3]N = N^t[/tex3] , então N é diagonalizável (Teorema Espectral de simetria).
Facilmente vemos que os autovalores de N são [tex3]\lambda_1=-1[/tex3] e [tex3]\lambda _2=1[/tex3]

Seja:
[tex3]f(x) = x^n[/tex3]
[tex3]g(x) = ax + b[/tex3]

Resolvemos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
f(\lambda_1)= g(\lambda_1)\\
f(\lambda_2)= g(\lambda_2)
\end{cases}[/tex3]

Achamos:
[tex3]\boxed {a = \dfrac{1}{2} - \dfrac{(-1)^n}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed {b = \dfrac{1}{2} + \dfrac{(-1)^n}{2}}[/tex3]

Portanto:
[tex3]f(x) = (\dfrac{1}{2} - \dfrac{(-1)^n}{2}).x + (\dfrac{1}{2} + \dfrac{(-1)^n}{2})[/tex3]

Aplicando f na matriz N:
[tex3]f(N) = a.N +bI [/tex3] , onde [tex3]I [/tex3] é a matriz identidade

Logo:
[tex3]f(N) = (\dfrac{1}{2} - \dfrac{(-1)^n}{2}).N +( \dfrac{1}{2} + \dfrac{(-1)^n}{2})I [/tex3]

Ficamos com:
[tex3]f(n) = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2} + \dfrac{(-1)^n}{2} & \dfrac{1}{2} - \dfrac{(-1)^n}{2} \\
\dfrac{1}{2} - \dfrac{(-1)^n}{2}& \dfrac{1}{2} + \dfrac{(-1)^n}{2}\\
\end{pmatrix} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+ (-1)^n & 1- (-1)^n \\
1- (-1)^n & 1+ (-1)^n \\
\end{pmatrix} [/tex3]

onde n é a potência que queremos saber de N.

Caraca, eu viajei mesmo na interpretação. Parabéns, lorramrj e PedroCosta . Eu nunca imaginaria isso. Ainda bem que meu foco é enem mesmo e não esses vestibulares loucos ou até mesmo o IME/ITA.

Sinceras desculpas meduesb2017 .

Nossa, entendi !! Muito obrigada.

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