Pré-Vestibular ⇒ (UNIT) Números Complexos Tópico resolvido

[doraoliveira]

Se Z é um número complexo tal que, z= 2 [tex3]z^{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^{-1}[/tex3]

, então |z| é igual a

Resposta: [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[LucasPinafi]

Sabe-se que [tex3]|z^{-1}| = |z|^{-1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z^{-1}| = |z|^{-1} [/tex3]

Prova: Seja [tex3]z = a+ bi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z = a+ bi[/tex3]

então [tex3]z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{a-bi}{a^2 -b^2i^2}=
\frac{a-bi}{a^2 + b^2} \Longrightarrow \\ |z^{-1} | = \left | \frac{a-bi}{a^2+b^2} \right| = \frac{1}{a^2+b^2}|a-bi| = \frac{1}{a^2+b^2}\sqrt{a^2 + (-b)^2} = \frac{1}{a^2+b^2}\sqrt{a^2 + b^2} = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}= \frac{1}{|z|} = |z|^{-1} \\ \therefore |z^{-1} | = |z|^{-1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{a-bi}{a^2 -b^2i^2}=
\frac{a-bi}{a^2 + b^2} \Longrightarrow \\ |z^{-1} | = \left | \frac{a-bi}{a^2+b^2} \right| = \frac{1}{a^2+b^2}|a-bi| = \frac{1}{a^2+b^2}\sqrt{a^2 + (-b)^2} = \frac{1}{a^2+b^2}\sqrt{a^2 + b^2} = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}= \frac{1}{|z|} = |z|^{-1} \\ \therefore |z^{-1} | = |z|^{-1} [/tex3]

Usando esse fato para o problema fica bem fácil,
[tex3]z = 2 z^{-1} \Longrightarrow |z| = |2z^{-1} | = |2||z^{-1} | = 2 |z|^{-1} \Longrightarrow |z| = 2|z|^{-1} = \frac 2 {|z|} \Longrightarrow |z|^2 = 2 \Longrightarrow |z| = \sqrt 2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z = 2 z^{-1} \Longrightarrow |z| = |2z^{-1} | = |2||z^{-1} | = 2 |z|^{-1} \Longrightarrow |z| = 2|z|^{-1} = \frac 2 {|z|} \Longrightarrow |z|^2 = 2 \Longrightarrow |z| = \sqrt 2 [/tex3]