Pré-Vestibular

As soluções da equação x² + bx + c = 0 são números complexos distintos que, no plano
de Argand-Gauss, estão na circunferência de raio 2 centrada na origem.
Portanto, as constantes reais b e c são tais que

A) b = 4 e −2 ≤ c ≤ 2.
B) − 4 ≤ b ≤ 4 e c = 2.
C) − 4 < b < 4 e c = 4.
D) − 2 ≤ b ≤ 2 e c = 4.
E) − 2 < b < 2 e − 4 < c < 4.

Resposta: C

Por Girard:
[tex3]x^2 + bx + c = 0 \\
x_1+x_2 = -b\\
x_1x_2 = c[/tex3]
Das relações acima, somente a segunda será útil.
Como estamos trabalhando com complexos:
[tex3]z\cdot \overline{z} = c[/tex3]
O produto do número complexo [tex3]z = x+ yi [/tex3] e o seu conjugado [tex3]z = x-yi[/tex3] resulta em:
[tex3]z\cdot \overline{z} = x^2 + y^2[/tex3]
Veja que a circunferência apresenta equação [tex3]x^2 + y^2 = 2^2[/tex3] . Lembre também que a circunferência contém os pontos P(x,y) e Q(x,-y) (são soluções da equação da circunferência). Portanto:
[tex3]z\cdot \overline{z} = 4 \Longrightarrow c = 4[/tex3]
Para achar b, nós recorremos ao discriminante [tex3]\Delta[/tex3] que deve ser menor que zero para soluções complexas:
[tex3]\Delta = b^2 - 4ac < 0 \\
b^2 - 4\cdot1\cdot 4 < 0 \Longrightarrow b^2 < 16 \Longrightarrow |b| < 4 \\
-4<b<4[/tex3]

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