Sendo o número complexo z = 1+ i uma das raízes do polinômio p (x) = x³ -4x²+6x-4, é correto afirmar que a soma das outras raízes é um número complexo de módulo igual a:
a)[tex3]\sqrt{5}[/tex3]
b) 3
c) [tex3]\sqrt{10}[/tex3]
d) 4
e) 2 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
Eu sei que a questão é simples, mas no livro diz que o gabarito é c e eu não encontro de jeito nenhum.
Obrigada desde já.
Pré-Vestibular ⇒ (UNIT)Polinômios e números complexos Tópico resolvido
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GirardModerno 
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Jan 2018
21
10:43
Re: (UNIT)Polinômios e números complexos
Bom dia,amigo!
Segue a resolução ae, fiz de maneira rápida e não sei se está de forma compreensiva, portanto, qlqr dúvida dá um grito ae!
Segue a resolução ae, fiz de maneira rápida e não sei se está de forma compreensiva, portanto, qlqr dúvida dá um grito ae!
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"Com grandes poderes vêm grandes responsabilidades"
- Stan Lee
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Jan 2018
21
11:38
Re: (UNIT)Polinômios e números complexos
Um outro caminho, ao invés de chutar as raízes, seria usar o método da chave.
Sendo um polinômio de coeficientes reais, caso o mesmo possua alguma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também será uma das raízes. Sendo assim,
[tex3](x-z)(x-\overline{z})=(x-1-i)(x-1+i)\\(x-z)(x-\overline{z})=x^2-2x+2[/tex3]
Por serem raízes do polinômio [tex3]p(x)[/tex3] , logo [tex3](x^2-2x+2)[/tex3] também é um dos fatores do polinômio. Então, dividindo pelo método da chave achamos
[tex3]x-2[/tex3]
Portanto, 2 é um das raízes de [tex3]p(x)[/tex3] . Calculando a soma pedida no enunciado
[tex3]2+1-i\\3-i[/tex3]
Calculando seu módulo
[tex3]|z|=\sqrt{3^2+(-1)^2}\\\boxed{|z|=\sqrt{10}}[/tex3]
Sendo um polinômio de coeficientes reais, caso o mesmo possua alguma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também será uma das raízes. Sendo assim,
[tex3](x-z)(x-\overline{z})=(x-1-i)(x-1+i)\\(x-z)(x-\overline{z})=x^2-2x+2[/tex3]
Por serem raízes do polinômio [tex3]p(x)[/tex3] , logo [tex3](x^2-2x+2)[/tex3] também é um dos fatores do polinômio. Então, dividindo pelo método da chave achamos
[tex3]x-2[/tex3]
Portanto, 2 é um das raízes de [tex3]p(x)[/tex3] . Calculando a soma pedida no enunciado
[tex3]2+1-i\\3-i[/tex3]
Calculando seu módulo
[tex3]|z|=\sqrt{3^2+(-1)^2}\\\boxed{|z|=\sqrt{10}}[/tex3]
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jomatlove 
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Jan 2018
21
12:07
Re: (UNIT)Polinômios e números complexos
Resolucao:
[tex3]\bullet x^{3}-4x^{2}+6x-4=0[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] raízes:
[tex3]z_{1}=1+i[/tex3]
[tex3]z_{2}[/tex3]
[tex3]z_{3}[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] por Girard:
[tex3]z_{1}+z_{2}+z_{3}=4[/tex3]
[tex3]1+i+z_{2}+z_{3}=4[/tex3]
[tex3]z_{2}+z_{3}=3-i[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] pede-se:
[tex3]|z_{2}+z_{3}|=\sqrt{3^{2}
+(-1)^{2}}=\sqrt{10}[/tex3]
[tex3]\bullet x^{3}-4x^{2}+6x-4=0[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] raízes:
[tex3]z_{1}=1+i[/tex3]
[tex3]z_{2}[/tex3]
[tex3]z_{3}[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] por Girard:
[tex3]z_{1}+z_{2}+z_{3}=4[/tex3]
[tex3]1+i+z_{2}+z_{3}=4[/tex3]
[tex3]z_{2}+z_{3}=3-i[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] pede-se:
[tex3]|z_{2}+z_{3}|=\sqrt{3^{2}
+(-1)^{2}}=\sqrt{10}[/tex3]
Imagination is more important than
knowledge(Albert Einstein)
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