Sendo o número complexo z = 1+ i uma das raízes do polinômio p (x) = x³ -4x²+6x-4, é correto afirmar que a soma das outras raízes é um número complexo de módulo igual a:
a)[tex3]\sqrt{5}[/tex3]
b) 3
c) [tex3]\sqrt{10}[/tex3]
d) 4
e) 2 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
Eu sei que a questão é simples, mas no livro diz que o gabarito é c e eu não encontro de jeito nenhum.
Obrigada desde já.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Pré-Vestibular ⇒ (UNIT)Polinômios e números complexos Tópico resolvido
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doraoliveira
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GirardModerno
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Jan 2018
21
10:43
Re: (UNIT)Polinômios e números complexos
Bom dia,amigo!
Segue a resolução ae, fiz de maneira rápida e não sei se está de forma compreensiva, portanto, qlqr dúvida dá um grito ae!
Segue a resolução ae, fiz de maneira rápida e não sei se está de forma compreensiva, portanto, qlqr dúvida dá um grito ae!
- Anexos
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alevini98
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Jan 2018
21
11:38
Re: (UNIT)Polinômios e números complexos
Um outro caminho, ao invés de chutar as raízes, seria usar o método da chave.
Sendo um polinômio de coeficientes reais, caso o mesmo possua alguma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também será uma das raízes. Sendo assim,
[tex3](x-z)(x-\overline{z})=(x-1-i)(x-1+i)\\(x-z)(x-\overline{z})=x^2-2x+2[/tex3]
Por serem raízes do polinômio [tex3]p(x)[/tex3] , logo [tex3](x^2-2x+2)[/tex3] também é um dos fatores do polinômio. Então, dividindo pelo método da chave achamos
[tex3]x-2[/tex3]
Portanto, 2 é um das raízes de [tex3]p(x)[/tex3] . Calculando a soma pedida no enunciado
[tex3]2+1-i\\3-i[/tex3]
Calculando seu módulo
[tex3]|z|=\sqrt{3^2+(-1)^2}\\\boxed{|z|=\sqrt{10}}[/tex3]
Sendo um polinômio de coeficientes reais, caso o mesmo possua alguma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também será uma das raízes. Sendo assim,
[tex3](x-z)(x-\overline{z})=(x-1-i)(x-1+i)\\(x-z)(x-\overline{z})=x^2-2x+2[/tex3]
Por serem raízes do polinômio [tex3]p(x)[/tex3] , logo [tex3](x^2-2x+2)[/tex3] também é um dos fatores do polinômio. Então, dividindo pelo método da chave achamos
[tex3]x-2[/tex3]
Portanto, 2 é um das raízes de [tex3]p(x)[/tex3] . Calculando a soma pedida no enunciado
[tex3]2+1-i\\3-i[/tex3]
Calculando seu módulo
[tex3]|z|=\sqrt{3^2+(-1)^2}\\\boxed{|z|=\sqrt{10}}[/tex3]
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jomatlove
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Jan 2018
21
12:07
Re: (UNIT)Polinômios e números complexos
Resolucao:
[tex3]\bullet x^{3}-4x^{2}+6x-4=0[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] raízes:
[tex3]z_{1}=1+i[/tex3]
[tex3]z_{2}[/tex3]
[tex3]z_{3}[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] por Girard:
[tex3]z_{1}+z_{2}+z_{3}=4[/tex3]
[tex3]1+i+z_{2}+z_{3}=4[/tex3]
[tex3]z_{2}+z_{3}=3-i[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] pede-se:
[tex3]|z_{2}+z_{3}|=\sqrt{3^{2}
+(-1)^{2}}=\sqrt{10}[/tex3]
[tex3]\bullet x^{3}-4x^{2}+6x-4=0[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] raízes:
[tex3]z_{1}=1+i[/tex3]
[tex3]z_{2}[/tex3]
[tex3]z_{3}[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] por Girard:
[tex3]z_{1}+z_{2}+z_{3}=4[/tex3]
[tex3]1+i+z_{2}+z_{3}=4[/tex3]
[tex3]z_{2}+z_{3}=3-i[/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3] pede-se:
[tex3]|z_{2}+z_{3}|=\sqrt{3^{2}
+(-1)^{2}}=\sqrt{10}[/tex3]
Imagination is more important than
knowledge(Albert Einstein)
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