As raízes do polinômio p(x) = 7x³ − 15x² − 8x + 21 podem ser
A) uma negativa e duas positivas.
B) duas negativas e uma positiva.
C) uma positiva e duas complexas conjugadas.
D) todas negativas.
E) todas positivas.
Resp:A
Pré-Vestibular ⇒ (FITS) Polinômios Tópico resolvido
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PedroCosta 
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Jan 2018
20
19:06
Re: (FITS) Polinômios
Por Girard, você tem que: [tex3]\begin{cases}r_1+r_2+r_3 = - \frac{b}{a} \\ r_1r_2r_3 = -\frac{d}{a}\end{cases}[/tex3]
Daí:
[tex3]r_1+r_2+r_3 = \frac{15}{7} \ \ (i) \\ r_1r_2r_3 = -\frac{21}{7} \ \ \ \ \ \ \ \ (ii)[/tex3]
Fiz algumas suposições com base nas alternativas. Não acho que seja uma solução verdadeira. Vamos esperar outro colega mais experiente responder.
Se essa equação polinomial de coeficientes reais admitir como raiz o numero complexo z = a + bi (b [tex3]\neq [/tex3] 0), então também admite como raiz o conjugado de z. O que na relação (ii) significa:
[tex3]z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2[/tex3]
Logo, o seu outro valor tem que ser negativo. O que contradiz com a alternativa C.
Resta agora duas opções: as raízes serem todas negativas ou duas delas serem positivas e a outra negativa.
A primeira opção é descartada quando você olha para relação (i). Logo, o que resta é a segunda opção que corresponde a alternativa A.
Daí:
[tex3]r_1+r_2+r_3 = \frac{15}{7} \ \ (i) \\ r_1r_2r_3 = -\frac{21}{7} \ \ \ \ \ \ \ \ (ii)[/tex3]
Fiz algumas suposições com base nas alternativas. Não acho que seja uma solução verdadeira. Vamos esperar outro colega mais experiente responder.
Se essa equação polinomial de coeficientes reais admitir como raiz o numero complexo z = a + bi (b [tex3]\neq [/tex3] 0), então também admite como raiz o conjugado de z. O que na relação (ii) significa:
[tex3]z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2[/tex3]
Logo, o seu outro valor tem que ser negativo. O que contradiz com a alternativa C.
Resta agora duas opções: as raízes serem todas negativas ou duas delas serem positivas e a outra negativa.
A primeira opção é descartada quando você olha para relação (i). Logo, o que resta é a segunda opção que corresponde a alternativa A.
Última edição: PedroCosta (Sáb 20 Jan, 2018 19:12). Total de 1 vez.
"Se vai tentar, vá até o fim.
Caso contrário, nem comece.
Se vai tentar, vá até o fim.
Pode perder namoradas, esposas, parentes, empregos e talvez até a cabeça.
Vá até o fim."
Charles Bukowski
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LucasPinafi 
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Jan 2018
20
20:39
Re: (FITS) Polinômios
Provavelmente o método do Pedro é melhor para resolver no tempo de prova. Mas também pode fazer assim
Comece vendo que [tex3]\lim_{ x \to -\infty}P(x) = -\infty[/tex3] .
Como P(0) = 21 > 0, deve haver uma raiz negativa.
Derivando, P'(x) = 21x² -30x - 8
Calculando P'(x) = 0 para x > 0 encontramos [tex3]x\approx 1,6[/tex3]
Como [tex3]P''(x) =41 x - 30 \Longrightarrow P''(1,6) > 0 [/tex3] , x = 1,6 é ponto de mínimo.
P(1,6) = -1,53 segue que deve haver uma outra raiz positiva.
Como [tex3]\lim_{x\to +\infty} P(x) = +\infty[/tex3] , então segue que deve haver uma terceira raiz que é positiva
Comece vendo que [tex3]\lim_{ x \to -\infty}P(x) = -\infty[/tex3] .
Como P(0) = 21 > 0, deve haver uma raiz negativa.
Derivando, P'(x) = 21x² -30x - 8
Calculando P'(x) = 0 para x > 0 encontramos [tex3]x\approx 1,6[/tex3]
Como [tex3]P''(x) =41 x - 30 \Longrightarrow P''(1,6) > 0 [/tex3] , x = 1,6 é ponto de mínimo.
P(1,6) = -1,53 segue que deve haver uma outra raiz positiva.
Como [tex3]\lim_{x\to +\infty} P(x) = +\infty[/tex3] , então segue que deve haver uma terceira raiz que é positiva
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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