Pré-VestibularSistema Linear - MACKENZIE 2011

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Auto Excluído (ID:19989)
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Jan 2018 15 16:02

Sistema Linear - MACKENZIE 2011

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19989) »

Relativas ao sistema [tex3]\begin{cases}
kx + 4ky = 0

\\
3x + ky = 8

\end{cases}[/tex3]
, k ∈ IRconsidere as afirmações I, II e III abaixo.
I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k.
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k.
III. É impossível para um único valor de k.
Dessa forma,
a) somente I está correta.
b) somente II e III estão corretas.
c) somente I e III estão corretas.
d) somente III está correta.
e) I, II e III estão corretas.
Considere o determinante D, formado a partir da matriz dos coeficientes:
D = ∴ D = k2 – 12k
• D 0 ⇔ k 0 e k 12
Assim, se k 0 e k 12, o sistema possui uma única solução;
• se k = 0, temos o sistema , que admite infinitas soluções da forma , y , y ∈ IR;
• se k = 12, temos o sistema .
Logo, escalonando o sistema temos:

Assim, o sistema é impossível.
Portanto somente as afirmativas II e III estão corretas.

Segue a questão com a resolução.Eu não consegui entender porque a II está correta,seria porcausa da quadrática k2-12k?Única razão que eu penso aqui é essa,mas não consigo compreender, ela diz ''mais de uma solução para um único valor de k'',não deveria ser: ''uma única solução para mais de 1 valor''?por exemplo -2 e 2 resultando na mesma solução dentro da quadrática...se alguém puder me explicar detalhadamente o porquê eu agradeceria muito!

Última edição: Auto Excluído (ID:19989) (Seg 15 Jan, 2018 16:03). Total de 1 vez.



alevini98
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Re: Sistema Linear - MACKENZIE 2011

Mensagem não lida por alevini98 »

Não entendi a resolução, me parece estar faltando os sistemas.

Eu preferi optar pelo seguinte caminho:

[tex3]\begin{cases}kx+4ky=0\\3x+ky=8\end{cases}\\\begin{cases}x=-4y\\x=-\frac{ky}{3}+\frac{8}{3}\end{cases}[/tex3]

Aqui, para simplificar, você poderia tanto trocar de lugar as variáveis [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] no sistema como direto no gráfico em que seriam esboçadas essas duas retas. Irei optar por trocar no sistema mesmo.

[tex3]\begin{cases}y=-4x\\y=-\frac{kx}{3}+\frac{8}{3}\end{cases}[/tex3]

Sendo [tex3]-\frac{k}{3}[/tex3] o coeficiente angular da segunda reta, é fácil reparar que há infinitos valores de [tex3]k[/tex3] para que as duas retas se intersectam, sendo que há apenas um valor em que não se intersectam, isto é, quando as retas são paralelas:

[tex3]-4=-\frac{k}{3}[/tex3]

Em outras palavras, quando o sistema é impossível.

Sendo assim, apenas as afirmativa II e III estão corretas.




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