Pré-Vestibular(UFF-RJ) Área de figuras planas Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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frederikatzen
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(UFF-RJ) Área de figuras planas

Mensagem não lida por frederikatzen »

As circunferências de centro O e O' possuem, ambas, 1cm de raio e se interceptam nos pontos P e P', conforme mostra a figura.
WhatsApp Image 2018-01-11 at 20.08.43.jpeg
WhatsApp Image 2018-01-11 at 20.08.43.jpeg (49.99 KiB) Exibido 804 vezes
Determine a área da região hachurada.
Resposta

Resposta: [tex3]\sqrt{3} - \frac{\pi }{3}[/tex3] u.a

Última edição: caju (Sex 12 Jan, 2018 11:36). Total de 1 vez.
Razão: Colocar spoiler na resposta.



alevini98
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Re: (UFF-RJ) Área de figuras planas

Mensagem não lida por alevini98 »

Primeiro, precisamos calcular a área entre as duas partes hachuradas. Veja que se olharmos para apenas um círculo e seu triângulo equilátero, metade da área não hachurada vai ser o valor da área do setor menos a área do triângulo equilátero. Dessa forma,

[tex3]\pi r^2\cdot\frac{60}{360}-\frac{r^2\sqrt3}{4}\\\frac{2\pi-3\sqrt3}{12}[/tex3]

Mas, como isso é metade da área que procuramos, multiplicamos por 2,

[tex3]\frac{2\pi-3\sqrt3}{6}[/tex3]

Agora, calculando a área dos dois triângulos equiláteros,

[tex3]2\frac{r^2\sqrt3}{4}\\\frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Subtraindo deles a área não hachurada,

[tex3]\frac{\sqrt3}{2}-\frac{2\pi-3\sqrt3}{6}\\\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{3}\\\boxed{\sqrt3-\frac{\pi}{3}}[/tex3]




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