Pré-Vestibular ⇒ (UFF-RJ) Área de figuras planas Tópico resolvido

[frederikatzen]

As circunferências de centro O e O' possuem, ambas, 1cm de raio e se interceptam nos pontos P e P', conforme mostra a figura.

WhatsApp Image 2018-01-11 at 20.08.43.jpeg (49.99 KiB) Exibido 861 vezes

Determine a área da região hachurada.

Resposta

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Resposta: [tex3]\sqrt{3} - \frac{\pi }{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3} - \frac{\pi }{3}[/tex3]

u.a

[alevini98]

Primeiro, precisamos calcular a área entre as duas partes hachuradas. Veja que se olharmos para apenas um círculo e seu triângulo equilátero, metade da área não hachurada vai ser o valor da área do setor menos a área do triângulo equilátero. Dessa forma,

[tex3]\pi r^2\cdot\frac{60}{360}-\frac{r^2\sqrt3}{4}\\\frac{2\pi-3\sqrt3}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi r^2\cdot\frac{60}{360}-\frac{r^2\sqrt3}{4}\\\frac{2\pi-3\sqrt3}{12}[/tex3]

Mas, como isso é metade da área que procuramos, multiplicamos por 2,

[tex3]\frac{2\pi-3\sqrt3}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2\pi-3\sqrt3}{6}[/tex3]

Agora, calculando a área dos dois triângulos equiláteros,

[tex3]2\frac{r^2\sqrt3}{4}\\\frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\frac{r^2\sqrt3}{4}\\\frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Subtraindo deles a área não hachurada,

[tex3]\frac{\sqrt3}{2}-\frac{2\pi-3\sqrt3}{6}\\\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{3}\\\boxed{\sqrt3-\frac{\pi}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt3}{2}-\frac{2\pi-3\sqrt3}{6}\\\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{3}\\\boxed{\sqrt3-\frac{\pi}{3}}[/tex3]