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b) [tex3]x^2+y^2[/tex3]
c) [tex3](5\pi -4)x^2[/tex3]
d) [tex3]\(\frac{5\pi}{2}-2\)x^2[/tex3]
e) [tex3]x^2-y^2[/tex3]
Resposta
a) [tex3](\frac{5\pi}{2}-4)x^2[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 1998) Geometria Plana Tópico resolvido
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lincoln1000 
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Dez 2017
16
22:31
(FUVEST 1998) Geometria Plana
Considere o quadrado [tex3]ABCD[/tex3]
inscrito na semicircunferência de centro na origem. Se [tex3](x,y)[/tex3]
são as coordenadas do ponto [tex3]A[/tex3]
, então a área da região exterior ao quadrado [tex3]ABCD[/tex3]
e interior à semicircunferência é igual a
a) [tex3]\(\frac{5\pi}{2}-4\)x^2[/tex3]
b) [tex3]x^2+y^2[/tex3]
c) [tex3](5\pi -4)x^2[/tex3]
d) [tex3]\(\frac{5\pi}{2}-2\)x^2[/tex3]
e) [tex3]x^2-y^2[/tex3]
a) [tex3](\frac{5\pi}{2}-4)x^2[/tex3]
b) [tex3]x^2+y^2[/tex3]
c) [tex3](5\pi -4)x^2[/tex3]
d) [tex3]\(\frac{5\pi}{2}-2\)x^2[/tex3]
e) [tex3]x^2-y^2[/tex3]
a) [tex3](\frac{5\pi}{2}-4)x^2[/tex3]
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
Dez 2017
17
09:09
Re: (FUVEST 1998) Geometria Plana
y = 2x
Área quadrado = 2x.y= 2x.2x = 4x2
Raio = hipotenusa do triângulo AOD send O a origem: [tex3]R^2=x^2+y^2\rightarrow R=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]
Sprocurada = [tex3]\frac{\pi R^2}{2}-4x^2 = \frac{\pi (x^2+y^2)}{2}-4x^2 = \frac{\pi (x^2+4x^2)}{2}-4x^2=\frac{\pi 5x^2}{2}-4x^2=\boxed{x^2.(\frac{5\pi }{2}-4)} [/tex3]
Área quadrado = 2x.y= 2x.2x = 4x2
Raio = hipotenusa do triângulo AOD send O a origem: [tex3]R^2=x^2+y^2\rightarrow R=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]
Sprocurada = [tex3]\frac{\pi R^2}{2}-4x^2 = \frac{\pi (x^2+y^2)}{2}-4x^2 = \frac{\pi (x^2+4x^2)}{2}-4x^2=\frac{\pi 5x^2}{2}-4x^2=\boxed{x^2.(\frac{5\pi }{2}-4)} [/tex3]
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PedroCunha 
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Dez 2017
17
09:16
Re: (FUVEST 1998) Geometria Plana
Bom dia!
A área do quadrado será dada por:
[tex3]
S_q = 2x \cdot y
[/tex3]
mas como em um quadrado os lados são iguais, [tex3]y = 2x [/tex3] , assim:
[tex3]
S_q = 2x \cdot 2x \therefore S_q = 4x^2
[/tex3]
Repare que [tex3]r = OA [/tex3] , onde O representa a origem. Assim, por Pitágoras:
[tex3]
r^2 = x^2 + y^2 \therefore r^2 = 5x^2
[/tex3]
Portanto, a área do semi-círculo é:
[tex3]
S_s = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{5\pi}{2} \cdot x^2
[/tex3]
Assim, a área pedida pelo enunciado é:
[tex3]
S = S_s-S_q \therefore S = \frac{5\pi}{2} \cdot x^2 -4x^2 \therefore \boxed{\boxed{ S = \left( \frac{5\pi}{2} - 4 \right) \cdot x^2 }}
[/tex3]
Alternativa a .
Abraços,
Pedro.
A área do quadrado será dada por:
[tex3]
S_q = 2x \cdot y
[/tex3]
mas como em um quadrado os lados são iguais, [tex3]y = 2x [/tex3] , assim:
[tex3]
S_q = 2x \cdot 2x \therefore S_q = 4x^2
[/tex3]
Repare que [tex3]r = OA [/tex3] , onde O representa a origem. Assim, por Pitágoras:
[tex3]
r^2 = x^2 + y^2 \therefore r^2 = 5x^2
[/tex3]
Portanto, a área do semi-círculo é:
[tex3]
S_s = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{5\pi}{2} \cdot x^2
[/tex3]
Assim, a área pedida pelo enunciado é:
[tex3]
S = S_s-S_q \therefore S = \frac{5\pi}{2} \cdot x^2 -4x^2 \therefore \boxed{\boxed{ S = \left( \frac{5\pi}{2} - 4 \right) \cdot x^2 }}
[/tex3]
Alternativa a .
Abraços,
Pedro.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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lincoln1000
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Dez 2017
17
17:31
Re: (FUVEST 1998) Geometria Plana
Obrigado petras e PedroCunha!
Então o tamanho da semicircunferência acompanha o tamanho do quadrado? Como eu entenderia isso a partir deste enunciado?
Então o tamanho da semicircunferência acompanha o tamanho do quadrado? Como eu entenderia isso a partir deste enunciado?
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
Dez 2017
17
18:26
Re: (FUVEST 1998) Geometria Plana
Temos um quadrado INSCRITO na semicircunferência, portanto seus vértices pertencem a mesma, Como o centro está na origem, a reta da origem ao vértice do quadrado será o raio da semicircunferência.
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