Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 1998) Geometria Plana Tópico resolvido

[lincoln1000]

Considere o quadrado [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

inscrito na semicircunferência de centro na origem. Se [tex3](x,y)[/tex3]

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[tex3](x,y)[/tex3]

são as coordenadas do ponto [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

, então a área da região exterior ao quadrado [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

e interior à semicircunferência é igual a

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a) [tex3]\(\frac{5\pi}{2}-4\)x^2[/tex3]

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[tex3]\(\frac{5\pi}{2}-4\)x^2[/tex3]

b) [tex3]x^2+y^2[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2[/tex3]

c) [tex3](5\pi -4)x^2[/tex3]

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[tex3](5\pi -4)x^2[/tex3]

d) [tex3]\(\frac{5\pi}{2}-2\)x^2[/tex3]

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[tex3]\(\frac{5\pi}{2}-2\)x^2[/tex3]

e) [tex3]x^2-y^2[/tex3]

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[tex3]x^2-y^2[/tex3]

Resposta

---

a) [tex3](\frac{5\pi}{2}-4)x^2[/tex3]

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[tex3](\frac{5\pi}{2}-4)x^2[/tex3]

[petras]

y = 2x
Área quadrado = 2x.y= 2x.2x = 4x²

Raio = hipotenusa do triângulo AOD send O a origem: [tex3]R^2=x^2+y^2\rightarrow R=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

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[tex3]R^2=x^2+y^2\rightarrow R=\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]

Sprocurada = [tex3]\frac{\pi R^2}{2}-4x^2 = \frac{\pi (x^2+y^2)}{2}-4x^2 = \frac{\pi (x^2+4x^2)}{2}-4x^2=\frac{\pi 5x^2}{2}-4x^2=\boxed{x^2.(\frac{5\pi }{2}-4)} [/tex3]

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[tex3]\frac{\pi R^2}{2}-4x^2 = \frac{\pi (x^2+y^2)}{2}-4x^2 = \frac{\pi (x^2+4x^2)}{2}-4x^2=\frac{\pi 5x^2}{2}-4x^2=\boxed{x^2.(\frac{5\pi }{2}-4)} [/tex3]

[PedroCunha]

Bom dia!

A área do quadrado será dada por:

[tex3]

S_q = 2x \cdot y

[/tex3]

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[tex3]

S_q = 2x \cdot y

[/tex3]

mas como em um quadrado os lados são iguais, [tex3]y = 2x [/tex3]

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[tex3]y = 2x [/tex3]

, assim:

[tex3]

S_q = 2x \cdot 2x \therefore S_q = 4x^2

[/tex3]

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[tex3]

S_q = 2x \cdot 2x \therefore S_q = 4x^2

[/tex3]

Repare que [tex3]r = OA [/tex3]

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[tex3]r = OA [/tex3]

, onde O representa a origem. Assim, por Pitágoras:

[tex3]

r^2 = x^2 + y^2 \therefore r^2 = 5x^2

[/tex3]

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[tex3]

r^2 = x^2 + y^2 \therefore r^2 = 5x^2

[/tex3]

Portanto, a área do semi-círculo é:

[tex3]

S_s = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{5\pi}{2} \cdot x^2

[/tex3]

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[tex3]

S_s = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{5\pi}{2} \cdot x^2

[/tex3]

Assim, a área pedida pelo enunciado é:

[tex3]

S = S_s-S_q \therefore S = \frac{5\pi}{2} \cdot x^2 -4x^2 \therefore \boxed{\boxed{ S = \left( \frac{5\pi}{2} - 4 \right) \cdot x^2 }}

[/tex3]

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[tex3]

S = S_s-S_q \therefore S = \frac{5\pi}{2} \cdot x^2 -4x^2 \therefore \boxed{\boxed{ S = \left( \frac{5\pi}{2} - 4 \right) \cdot x^2 }}

[/tex3]

Alternativa a .

Abraços,
Pedro.

[lincoln1000]

Obrigado petras e PedroCunha!

Então o tamanho da semicircunferência acompanha o tamanho do quadrado? Como eu entenderia isso a partir deste enunciado?

[petras]

Temos um quadrado INSCRITO na semicircunferência, portanto seus vértices pertencem a mesma, Como o centro está na origem, a reta da origem ao vértice do quadrado será o raio da semicircunferência.