Boa noite!
[tex3]\bullet [/tex3]
O centro da circunferência é o ponto [tex3](3,3) [/tex3]
e seu raio é 2;
[tex3]\bullet [/tex3]
Como a reta passa pelo ponto [tex3](2,0) [/tex3]
, sua equação é:
[tex3]y-0 = m \cdot (x-2) \therefore y - mx + 2m = 0 [/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3]
Para que a reta seja tangente à circunferência, a distância dela até o centro da circunferência deve ser igual ao raio. Assim, utilizando a fórmula da
distância entre um ponto e uma reta, temos:
[tex3]
d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \therefore 2 = \frac{|-m \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 2m |}{\sqrt{m^2+1}} \therefore 2\sqrt{m^2+1} = |3-m|
[/tex3]
Elevando ambos lados ao quadrado:
[tex3]
4 \cdot (m^2+1) = 9 - 6m + m^2 \therefore 4m^2 + 4 = 9-6m+m^2 \therefore 3m^2 + 6m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{6} \therefore m = \frac{-6\pm 4\sqrt{6}}{6} = \frac{-3\pm2\sqrt6}{3}
[/tex3]
Como [tex3]m > 0 [/tex3]
:
[tex3]
m = \frac{-3 \pm2\sqrt6}{3}
[/tex3]
Agora:
[tex3]
4 < 6 < 9 \therefore \sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9} \therefore 2 < \sqrt{6} < 3
[/tex3]
e portanto:
[tex3]
\frac{-3+ 2 \cdot 2}{3} < m < \frac{-3 + 3 \cdot 2}{3} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ \frac{1}{3} < m < 1 }}
[/tex3]
Abraços,
Pedro.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."