O polinômio x^4 + x² -2x + 6 admite 1+i como raiz, onde i²=-1. O número de raízes desse polinômio é:
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4
Pré-Vestibular ⇒ FUVEST (2001) - Polinômio Tópico resolvido
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FUVEST (2001) - Polinômio
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19:48
Re: FUVEST (2001) - Polinômio
Como os coeficientes do polinômio são reais, se "1+i" é raiz seu conjugado também é raiz. Logo, "1-i" é raiz.
Sejam x1, x2, 1+i e 1-i as raízes do polinômio, das relações de Girard temos:
x1 + x2 + (1+i) + (1-i) = 0 => x1 + x2 = -2 => x2 = -2 - x1
x1.x2.(1+i).(1-i) = 6 => x1.x2 = 3
x1.(-2-x1) = 3 => -x1² - 2x1 - 3 = 0 => x1 + 2x1 + 3 = 0
x1 = -1 [tex3]\pm [/tex3] [tex3]\sqrt{2}[/tex3] i
x2 = -1 [tex3]\pm \sqrt{2}[/tex3] i
Logo o polinômio possui 4 raízes complexas!
Pesquisando pelo seu enunciado, encontrei que o da prova original solicitava o número de raízes reais do polinômio. Assim, a resposta é a letra A pois não possui raiz real!
Sejam x1, x2, 1+i e 1-i as raízes do polinômio, das relações de Girard temos:
x1 + x2 + (1+i) + (1-i) = 0 => x1 + x2 = -2 => x2 = -2 - x1
x1.x2.(1+i).(1-i) = 6 => x1.x2 = 3
x1.(-2-x1) = 3 => -x1² - 2x1 - 3 = 0 => x1 + 2x1 + 3 = 0
x1 = -1 [tex3]\pm [/tex3] [tex3]\sqrt{2}[/tex3] i
x2 = -1 [tex3]\pm \sqrt{2}[/tex3] i
Logo o polinômio possui 4 raízes complexas!
Pesquisando pelo seu enunciado, encontrei que o da prova original solicitava o número de raízes reais do polinômio. Assim, a resposta é a letra A pois não possui raiz real!
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