Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2000) Geometria Analítica Tópico resolvido

[lincoln1000]

Considere os pontos [tex3]A = (- 2,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = (- 2,0)[/tex3]

, [tex3]B = (2,0)[/tex3]

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[tex3]B = (2,0)[/tex3]

, [tex3]C = (0,3)[/tex3]

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[tex3]C = (0,3)[/tex3]

e [tex3]P = (0,\alpha)[/tex3]

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[tex3]P = (0,\alpha)[/tex3]

, com [tex3]0 < \alpha < 3[/tex3]

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[tex3]0 < \alpha < 3[/tex3]

. Pelo ponto [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

, traçamos as três retas paralelas aos lados do triângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

.

Sem título.png (7.71 KiB) Exibido 2864 vezes

a) Determine, em função de [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

, a área da região sombreada(em amarelo) na figura.
b) Para que valor de [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

essa área é máxima?

Não tenho gabarito

[jrneliodias]

Olá jovem.

Fiz no papel mesmo. Estou pelo celular.

IMG_20171110_133239432_HDR.jpg (587.41 KiB) Exibido 2844 vezes

IMG_20171110_133405739_HDR.jpg (544.69 KiB) Exibido 2844 vezes

IMG_20171110_133446563_HDR.jpg (440.8 KiB) Exibido 2844 vezes

Espero ter ajudado. Abraço

[lincoln1000]

Na minha conta a área dos triângulos deu [tex3]\frac{18-12\alpha+3\alpha ^{2}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{18-12\alpha+3\alpha ^{2}}{3}[/tex3]

, mas eu acho que devo ter errado alguma coisa, tentei fazer sem equacionar as retas achando que iria agilizar mas acabou ficando mais confuso, bela resolução, obrigado!

[Cleunilson61]

Olá !!! As respostas corretas são:
a) S(a) = -a²+2a+3 (a=alfa)
b) A área é máxima para alfa=1 . S máx é 4.

[petras]

Cleunilson61,

Redesenhando convenientemente, temos:

fig.jpg (20.23 KiB) Exibido 623 vezes

Observando a figura, temos:

1) O triângulo ABC é isósceles.

2) O quadrilátero CHPI é um losango cujo diagonal menor HI (=d) e diagonal maior CP (=D). Portanto, a área é calculada da seguinte forma:
[tex3]A_1=\frac{1}{2}d.D=\frac{1}{2}(HI)(CP)[/tex3]

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[tex3]A_1=\frac{1}{2}d.D=\frac{1}{2}(HI)(CP)[/tex3]

Ainda podemos observar que os segmentos FP e HI são iguais (FP=HI).

3) Os quadriláteros PEAG e PFBD são iguais e paralelogramos cujas bases são EA e DB respectivamente e altura de ambos são PO.

A2=A3=base.altura=EA.PO = DB.PO

4) Os triângulos ∆BMC e ∆DMP são semelhantes, então podemos calcular a base do paralelogramo de seguinte maneira:
[tex3]\frac{\triangle BMC }{\triangle DMP}=\frac{CM}{PM}=\frac{MB}{MD}\implies\\
\frac{3}{\alpha}=\frac{2}{MD}\implies MD = \frac{2\alpha}{3}\\
baseDB(2-\frac{2\alpha}{3})
[/tex3]

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[tex3]\frac{\triangle BMC }{\triangle DMP}=\frac{CM}{PM}=\frac{MB}{MD}\implies\\
\frac{3}{\alpha}=\frac{2}{MD}\implies MD = \frac{2\alpha}{3}\\
baseDB(2-\frac{2\alpha}{3})
[/tex3]

5) Os triângulos ∆BMC e ∆FPC são semelhantes, então podemos calcular a diagonal menor do losango de seguinte maneira:
Da figura temos que (FP) = (HI).
[tex3]\frac{\triangle BMC }{\triangle FPC}=\frac{CM}{CP}=\frac{BM}{FP}\implies\\
\frac{3}{3-\alpha}=\frac{2}{FP}\implies FP= \frac{2}{3}(3-\alpha)\\
diagonal~ menor~HI=\frac{2}{3}(3-\alpha)
[/tex3]

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[tex3]\frac{\triangle BMC }{\triangle FPC}=\frac{CM}{CP}=\frac{BM}{FP}\implies\\
\frac{3}{3-\alpha}=\frac{2}{FP}\implies FP= \frac{2}{3}(3-\alpha)\\
diagonal~ menor~HI=\frac{2}{3}(3-\alpha)
[/tex3]

Redesenhando, temos:

fig1.jpg (22.5 KiB) Exibido 623 vezes

A área A correspondente à parte sombreada é igual a:

[tex3]A = A1+A2+A3 =A1+2A2=\frac{d.D}{2}+2(base.altura)\\
A=[\frac{1}{2}(\frac{2}{3}(3-\alpha)]+2[(\frac{2-2\alpha}{3}).\alpha] =\boxed{ -a^2+2\alpha+3}\color{green}\checkmark [/tex3]

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[tex3]A = A1+A2+A3 =A1+2A2=\frac{d.D}{2}+2(base.altura)\\
A=[\frac{1}{2}(\frac{2}{3}(3-\alpha)]+2[(\frac{2-2\alpha}{3}).\alpha] =\boxed{ -a^2+2\alpha+3}\color{green}\checkmark [/tex3]

b)Área máxima está no vértice
O valor de α para área máxima é a abscissa do vértice.
Como o coeficiente de α² é negativo, a parábola tem a concavidade virada para baixo:
[tex3]\alpha_v=\frac{-2}{2.(-1)}=\boxed{1}\color{green}\checkmark[/tex3]

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[tex3]\alpha_v=\frac{-2}{2.(-1)}=\boxed{1}\color{green}\checkmark[/tex3]

(Solução:ThiagoYamamoto)