Considere os pontos [tex3]A = (- 2,0)[/tex3]
a) Determine, em função de [tex3]\alpha[/tex3]
, a área da região sombreada(em amarelo) na figura.
b) Para que valor de [tex3]\alpha[/tex3]
essa área é máxima?
Não tenho gabarito
, [tex3]B = (2,0)[/tex3]
, [tex3]C = (0,3)[/tex3]
e [tex3]P = (0,\alpha)[/tex3]
, com [tex3]0 < \alpha < 3[/tex3]
. Pelo ponto [tex3]P[/tex3]
, traçamos as três retas paralelas aos lados do triângulo [tex3]ABC[/tex3]
.Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2000) Geometria Analítica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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(FUVEST - 2000) Geometria Analítica
Última edição: ALDRIN (Seg 25 Jul, 2022 16:25). Total de 2 vezes.
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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10
14:42
Re: (FUVEST - 2000) Geometria Analítica
Olá jovem.
Fiz no papel mesmo. Estou pelo celular.
Espero ter ajudado. Abraço
Fiz no papel mesmo. Estou pelo celular.
Espero ter ajudado. Abraço
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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15:02
Re: (FUVEST - 2000) Geometria Analítica
Na minha conta a área dos triângulos deu [tex3]\frac{18-12\alpha+3\alpha ^{2}}{3}[/tex3]
, mas eu acho que devo ter errado alguma coisa, tentei fazer sem equacionar as retas achando que iria agilizar mas acabou ficando mais confuso, bela resolução, obrigado!"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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Jul 2022
23
17:29
Re: (FUVEST - 2000) Geometria Analítica
Olá !!! As respostas corretas são:
a) S(a) = -a²+2a+3 (a=alfa)
b) A área é máxima para alfa=1 . S máx é 4.
a) S(a) = -a²+2a+3 (a=alfa)
b) A área é máxima para alfa=1 . S máx é 4.
Jul 2022
23
20:00
Re: (FUVEST - 2000) Geometria Analítica
Cleunilson61,
Redesenhando convenientemente, temos:
Observando a figura, temos:
1) O triângulo ABC é isósceles.
2) O quadrilátero CHPI é um losango cujo diagonal menor HI (=d) e diagonal maior CP (=D). Portanto, a área é calculada da seguinte forma:
[tex3]A_1=\frac{1}{2}d.D=\frac{1}{2}(HI)(CP)[/tex3]
Ainda podemos observar que os segmentos FP e HI são iguais (FP=HI).
3) Os quadriláteros PEAG e PFBD são iguais e paralelogramos cujas bases são EA e DB respectivamente e altura de ambos são PO.
A2=A3=base.altura=EA.PO = DB.PO
4) Os triângulos ∆BMC e ∆DMP são semelhantes, então podemos calcular a base do paralelogramo de seguinte maneira:
[tex3]\frac{\triangle BMC }{\triangle DMP}=\frac{CM}{PM}=\frac{MB}{MD}\implies\\
\frac{3}{\alpha}=\frac{2}{MD}\implies MD = \frac{2\alpha}{3}\\
baseDB(2-\frac{2\alpha}{3})
[/tex3]
5) Os triângulos ∆BMC e ∆FPC são semelhantes, então podemos calcular a diagonal menor do losango de seguinte maneira:
Da figura temos que (FP) = (HI).
[tex3]\frac{\triangle BMC }{\triangle FPC}=\frac{CM}{CP}=\frac{BM}{FP}\implies\\
\frac{3}{3-\alpha}=\frac{2}{FP}\implies FP= \frac{2}{3}(3-\alpha)\\
diagonal~ menor~HI=\frac{2}{3}(3-\alpha)
[/tex3]
Redesenhando, temos: A área A correspondente à parte sombreada é igual a:
[tex3]A = A1+A2+A3 =A1+2A2=\frac{d.D}{2}+2(base.altura)\\
A=[\frac{1}{2}(\frac{2}{3}(3-\alpha)]+2[(\frac{2-2\alpha}{3}).\alpha] =\boxed{ -a^2+2\alpha+3}\color{green}\checkmark [/tex3]
b)Área máxima está no vértice
O valor de α para área máxima é a abscissa do vértice.
Como o coeficiente de α² é negativo, a parábola tem a concavidade virada para baixo:
[tex3]\alpha_v=\frac{-2}{2.(-1)}=\boxed{1}\color{green}\checkmark[/tex3]
(Solução:ThiagoYamamoto)
Redesenhando convenientemente, temos:
Observando a figura, temos:
1) O triângulo ABC é isósceles.
2) O quadrilátero CHPI é um losango cujo diagonal menor HI (=d) e diagonal maior CP (=D). Portanto, a área é calculada da seguinte forma:
[tex3]A_1=\frac{1}{2}d.D=\frac{1}{2}(HI)(CP)[/tex3]
Ainda podemos observar que os segmentos FP e HI são iguais (FP=HI).
3) Os quadriláteros PEAG e PFBD são iguais e paralelogramos cujas bases são EA e DB respectivamente e altura de ambos são PO.
A2=A3=base.altura=EA.PO = DB.PO
4) Os triângulos ∆BMC e ∆DMP são semelhantes, então podemos calcular a base do paralelogramo de seguinte maneira:
[tex3]\frac{\triangle BMC }{\triangle DMP}=\frac{CM}{PM}=\frac{MB}{MD}\implies\\
\frac{3}{\alpha}=\frac{2}{MD}\implies MD = \frac{2\alpha}{3}\\
baseDB(2-\frac{2\alpha}{3})
[/tex3]
5) Os triângulos ∆BMC e ∆FPC são semelhantes, então podemos calcular a diagonal menor do losango de seguinte maneira:
Da figura temos que (FP) = (HI).
[tex3]\frac{\triangle BMC }{\triangle FPC}=\frac{CM}{CP}=\frac{BM}{FP}\implies\\
\frac{3}{3-\alpha}=\frac{2}{FP}\implies FP= \frac{2}{3}(3-\alpha)\\
diagonal~ menor~HI=\frac{2}{3}(3-\alpha)
[/tex3]
Redesenhando, temos: A área A correspondente à parte sombreada é igual a:
[tex3]A = A1+A2+A3 =A1+2A2=\frac{d.D}{2}+2(base.altura)\\
A=[\frac{1}{2}(\frac{2}{3}(3-\alpha)]+2[(\frac{2-2\alpha}{3}).\alpha] =\boxed{ -a^2+2\alpha+3}\color{green}\checkmark [/tex3]
b)Área máxima está no vértice
O valor de α para área máxima é a abscissa do vértice.
Como o coeficiente de α² é negativo, a parábola tem a concavidade virada para baixo:
[tex3]\alpha_v=\frac{-2}{2.(-1)}=\boxed{1}\color{green}\checkmark[/tex3]
(Solução:ThiagoYamamoto)
Última edição: petras (Sáb 23 Jul, 2022 20:01). Total de 1 vez.
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