Pré-Vestibular(FUVEST 2000) Geometria Espacial Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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lincoln1000
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(FUVEST 2000) Geometria Espacial

Mensagem não lida por lincoln1000 »

Um setor circular, com ângulo central [tex3]\theta[/tex3] [tex3](0<\theta<2\pi)[/tex3] , é recortado de um círculo de papel de raio [tex3]R[/tex3] (ver figura). Utilizando o restante do papel, construímos a superfície lateral de um cone circular reto.
222222.png
222222.png (8.33 KiB) Exibido 3417 vezes
Determine, em função de [tex3]R[/tex3] e [tex3]\theta[/tex3] ,
a) o raio da base do cone.
b) o volume do cone.

Não tenho o gabarito, mas segue em spoiler as respostas que eu conseguir encontrar, se alguém puder me ajudar, grato desde já
Resposta

[tex3]r=\frac{R(2\pi-\theta)}{2\pi}[/tex3]
[tex3]V=\frac{R^{3}(2\pi-\theta)^{2}\sqrt{4\pi \theta-\theta^{2}}}{24\pi^{2}}[/tex3]



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joaopcarv
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Re: (FUVEST 2000) Geometria Espacial

Mensagem não lida por joaopcarv »

Bom dia, lincoln1000.

Observe o anexo [tex3]\longrightarrow[/tex3]
cone-fuvest.jpg
cone-fuvest.jpg (48.27 KiB) Exibido 3394 vezes
Observe, que, depois de cortarmos o setor circular, vamos juntar os dois raios [tex3]R[/tex3] (do desenho à esquerda) e, com, formaremos justamente o cone assim, com a parte vermelha restante sendo o novo comprimento da base circular.

Veja como fica o novo cone montado (à direita). O vértice desse cone é justamente o centro da circunferência de papel.

Logo, a distância entre o vértice ao comprimento da circunferência (geratriz) é o próprio raio da circunferência de papel [tex3]R[/tex3] .

Temos [tex3]\Rightarrow[/tex3]

[tex3]C \ = \ \alpha \ \cdot \ \rho \ \longrightarrow[/tex3]

[tex3]C \ \rightarrow[/tex3] Comprimento de um setor circular;

[tex3]\alpha \ \rightarrow[/tex3] Ângulo central;

[tex3]\rho \ \rightarrow[/tex3] Raio do setor circular.

Ou seja, veja que o comprimento da base [tex3]C_{(base)}[/tex3] é o comprimento da circunferência de papel ([tex3]C_{(circ)}[/tex3] ) menos o comprimento do setor circular [tex3]C_{(setor)}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]C_{(base)} \ = \ C_{(circ)} \ - \ C_{(setor)} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\underbrace{2 \ \cdot \ \pi}_{ângulo \ central \ da \ base} \ \cdot \ \underbrace{r}_{raio \ da \ base} \ = \ \underbrace{2 \ \cdot \ \pi}_{ângulo \ central \ da \ circunferência} \ \cdot \ \underbrace{R}_{raio \ da \ circunferência} \ - \ \underbrace{\theta}_{ângulo \ central \ do \ setor} \ \cdot \ \underbrace{R}_{raio \ do \ setor} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ r \ = \ 2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ R \ - \ \theta \ \cdot \ R \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ r \ = \ R \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{r \ = \ \frac{ R \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)}{2 \ \cdot \ \pi}}}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] Raio do cone!

Agora, temos o cone reto formado, onde a altura [tex3]H[/tex3] , formando [tex3]90^\circ[/tex3] com o plano da base, o raio [tex3]r[/tex3] e a geratriz [tex3]R[/tex3] (como visto, raio da circunferência, já que o vértice do cone é o centro da mesma) formam um [tex3]\triangle[/tex3] retângulo.

[tex3]R^2 \ = \ H^2 \ + \ r^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]R^2 \ = \ H^2 \ + \ \Bigg(\frac{ R \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)}{2 \ \cdot \ \pi}\Bigg)^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]R^2 \ = \ \ H^2 \ + \ \frac{R^2 \ \cdot \ (4 \ \cdot \ \pi^2 \ - \ 4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ + \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]R^2 \ - \ \frac{R^2 \ \cdot \ (4 \ \cdot \ \pi^2 \ - \ 4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ + \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2} \ = \ H^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{4 \ \cdot \ \pi^2 \ \cdot \ R^2 \ - \ R^2 \ \cdot \ (4 \ \cdot \ \pi^2 \ - \ 4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ + \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2} \
= \ H^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{R^2 \ \cdot \ (\cancel{4 \ \cdot \ \pi^2} \ - \ \cancel{4 \ \cdot \ \pi^2} \ + \ 4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2}
\ = \ H^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H \ = \ \sqrt{\frac{R^2 \ \cdot \ (4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}{4 \ \cdot \ \pi^2}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{H \ = \ \frac{R \ \cdot \ \sqrt{(4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}}{2 \ \cdot \ \pi}}} \ \Rightarrow[/tex3] Altura do cone!

O volume [tex3]V[/tex3] é [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]V \ = \ \frac{A_{b} \ \cdot \ H}{3} \ \rightarrow[/tex3] Base circular :

[tex3]V \ = \ \frac{\pi \ \cdot \ r^2 \ \cdot \ H}{3} \ \rightarrow[/tex3] Substituindo os valores :

[tex3]V \ = \ \frac{\pi \ \cdot \ \Big(\frac{ R \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)}{2 \ \cdot \ \pi}\Big)^2 \ \cdot \ \frac{R \ \cdot \ \sqrt{(4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}}{2 \ \cdot \ \pi}}{3} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]V \ = \ \frac{\cancel{\pi} \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)^2 \cdot \ R \ \cdot \ \sqrt{(4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}}{4 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ \pi^{\cancel{3}}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{V \ = \ \frac{R^3 \ \cdot \ (2 \ \cdot \ \pi \ - \ \theta)^2 \ \cdot \ \sqrt{(4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ - \ \theta^2)}}{24 \ \cdot \ \pi^2}}} \ \Rightarrow[/tex3] Volume do cone!

Última edição: joaopcarv (Qui 09 Nov, 2017 11:54). Total de 2 vezes.


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Re: (FUVEST 2000) Geometria Espacial

Mensagem não lida por lincoln1000 »

Muito obrigado!! :D
Só um detalhe, nessa parte
joaopcarv escreveu:
Qui 09 Nov, 2017 11:15
[tex3]\boxed{\boxed{H \ = \ \frac{R \ \cdot \ \sqrt{(-4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ + \ \theta^2)}}{2 \ \cdot \ \pi}}} \ \Rightarrow[/tex3] Altura do cone!
A altura não deveria ser assim?
[tex3]H=\frac{R\sqrt{4\pi \theta-\theta^{2}}}{2\pi}[/tex3]

Quando você deixou o [tex3]R^2[/tex3] em evidência parece que faltou inverter o sinal


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Re: (FUVEST 2000) Geometria Espacial

Mensagem não lida por joaopcarv »

lincoln1000 escreveu:
Qui 09 Nov, 2017 11:48
Muito obrigado!! :D
Só um detalhe, nessa parte
joaopcarv escreveu:
Qui 09 Nov, 2017 11:15
[tex3]\boxed{\boxed{H \ = \ \frac{R \ \cdot \ \sqrt{(-4 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ \theta \ + \ \theta^2)}}{2 \ \cdot \ \pi}}} \ \Rightarrow[/tex3] Altura do cone!
A altura não deveria ser assim?
[tex3]H=\frac{R\sqrt{4\pi \theta-\theta^{2}}}{2\pi}[/tex3]

Quando você deixou o [tex3]R^2[/tex3] em evidência parece que faltou inverter o sinal
é mesmo kkkkkk vou editar aqui


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Re: (FUVEST 2000) Geometria Espacial

Mensagem não lida por lincoln1000 »

kkk tudo certo, valeu!!


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Re: (FUVEST 2000) Geometria Espacial

Mensagem não lida por joaopcarv »

valeu pela observação, lincoln1000,foi na distração de ter cancelado o [tex3]4 \ \cdot \ \pi^2[/tex3] que eu esqueci de distribuir o sinal :?



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