Pré-Vestibular(FUVEST 2001) Geometria Espacial Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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lincoln1000
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(FUVEST 2001) Geometria Espacial

Mensagem não lida por lincoln1000 »

Na figura abaixo, tem-se um cilindro circular reto, onde [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são os centros das bases e [tex3]C[/tex3] é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se [tex3]D[/tex3] é o ponto do segmento [tex3]\overline{BC}[/tex3] , cujas distâncias a [tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3] são ambas iguais a [tex3]d[/tex3] , obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de [tex3]d[/tex3]
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Resposta

[tex3]R=\frac{d}{2}[/tex3]



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Re: (FUVEST 2001) Geometria Espacial

Mensagem não lida por joaopcarv »

Sejam [tex3]H[/tex3] e [tex3]R[/tex3] a altura e o raio da base deste cilindro, respectivamente.

A superfície lateral é retangular de dimensões [tex3]H[/tex3] e [tex3]2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ R[/tex3] (comprimento da base) [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{A_{(l)} \ = \ 2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ R \ \cdot \ H}[/tex3]

As bases são círculos de raio [tex3]R[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{A_{(b)} \ = \ \pi \ \cdot \ R^2}[/tex3]

A área total é a soma da superfície lateral com as duas superfícies da base :

[tex3]A_{(t)} \ = \ A_{(l)} \ + \ 2 \ \cdot A_{(b)} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{A_{(t)} \ = \ 2 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ R \ \cdot \ (H \ + \ R)}[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] formulinha "decorável"...

O volume de um cilindro é [tex3]V \ = \ A_{(b)} \ \cdot \ H \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{V \ = \ \pi \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ H}[/tex3]

A razão [tex3]\frac{V}{A_{(t)}}[/tex3] fica [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{\cancel{\pi} \ \cdot \ R^\cancel{2} \ \cdot \ H}{2 \ \cdot \ \cancel{\pi} \ \cdot \ \cancel{R} \ \cdot \ (H \ + \ R)} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{\frac{R \ \cdot \ H}{2 \ \cdot \ (H \ + \ R)}}}[/tex3] é a dita razão!

Agora observe o desenho.

Sendo [tex3]d[/tex3] uma distância, ela forma [tex3]90^\circ[/tex3] com os segmentos envolvidos.

Ou seja, [tex3]d \ \perp \ AB[/tex3] (em [tex3]D'[/tex3] , projeção ortogonal de [tex3]D[/tex3] em [tex3]AB[/tex3] ) e [tex3]d \ \perp \ AC[/tex3]
(em [tex3]D''[/tex3] , projeção ortogonal de [tex3]D[/tex3] em [tex3]AC[/tex3] ).


Os [tex3]\triangle ABC, \ \triangle AD'D \ e \ \triangle D''DC[/tex3] são retângulos e semelhantes.

Observe que [tex3]A\widehat{B}C \ = \ D'\widehat{B}D \ = \ D''\widehat{D}C[/tex3] . Ou seja :

[tex3]tg(A\widehat{B}C) \ = \ tg(D'\widehat{B}D) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{R}{H} \ = \ \frac{d}{H \ - \ d} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3](H \ - \ d) \ \cdot \ R \ = \ d \ \cdot \ H \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H \ \cdot \ R \ - \ d \ \cdot \ R \ = \ d \ \cdot \ H \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H \ \cdot \ R \ = \ d \ \cdot \ H \ + \ d \ \cdot \ R \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H \ \cdot \ R \ = \ d \ \cdot \ (H \ + \ R) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{d \ = \ \frac{H \ \cdot \ R}{(H \ + \ R)}}} \ \checkmark[/tex3]

Agora, voltando à nossa razão, temos [tex3]\Rightarrow[/tex3]

[tex3]\longrightarrow \ \frac{R \ \cdot \ H}{2 \ \cdot \ (H \ + \ R)} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\longrightarrow \ \frac{1}{2} \ \cdot \ \cancelto{d}{\frac{H \ \cdot \ R}{(H \ + \ R)}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\longrightarrow \ \frac{d}{2}}} \ \Rightarrow[/tex3] Aqui está a dita razão em função de [tex3]d[/tex3] [tex3]\checkmark[/tex3]
Anexos
cilindrofuvest.jpg
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Re: (FUVEST 2001) Geometria Espacial

Mensagem não lida por lincoln1000 »

Muito bom, obrigado!
O que me incomoda nessa questão é que não é muito intuitivo o raciocínio, você vai resolvendo de trás para frente e no final simplesmente encaixa o resultado, percebo que isso era mais comuns em questões antigas da fuvest. Como foi seu raciocínio para desenvolver essa resolução? quero dizer, a resolução está corretíssima, só quero saber como você imaginou a resolução hehe

Muito grato


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Re: (FUVEST 2001) Geometria Espacial

Mensagem não lida por joaopcarv »

lincoln1000 escreveu:
Qui 09 Nov, 2017 15:20
Muito bom, obrigado!
O que me incomoda nessa questão é que não é muito intuitivo o raciocínio, você vai resolvendo de trás para frente e no final simplesmente encaixa o resultado, percebo que isso era mais comuns em questões antigas da fuvest. Como foi seu raciocínio para desenvolver essa resolução? quero dizer, a resolução está corretíssima, só quero saber como você imaginou a resolução hehe

Muito grato
Oi, hehe, grato pelo elogio, muito obrigado mesmo! :D

Eu acho que ficará desapontado com a minha resposta...

Enquanto eu estava desenhando no Adobe Illustrator (o que equivale a você estar esquematizando na prova) e fui percebendo que daria muita variável, ainda mais se eu fosse usando as hipotenusas (por seno e cosseno).

Logo, com isso, decidi usar a tangente, porque não precisaria passar por valores como [tex3]\sqrt{(2 \ \cdot \ d^2 \ + \ R^2 \ - \ 2 \ \cdot \ d \ \cdot \ R)}[/tex3]

Daí decidi primeiro ir colocando as fórmulas e já pensei em tirar a razão na hora porque é uma "constante" entre os cilindros retos.
Pensei que, com a razão já montada, não precisaria de achar volume e área total explicitamente em função de [tex3]d[/tex3] (o que daria mais trabalho).

Mas aí que tá...
Acreditaria que daria alguma relação direta do [tex3]d[/tex3] com o [tex3]H[/tex3] e com o [tex3]R[/tex3] , mas foi muito mais fácil.

Veja que, usando qualquer semelhança, conseguimos o resultado desejado... entre qualquer triângulo achamos certinho a razão.

A Fuvest tem dessas... é difícil, mas "está na cara", às vezes haha :D

Espero que tenha entendido! :D E vai ´postando mais da Fuvest haha


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Re: (FUVEST 2001) Geometria Espacial

Mensagem não lida por lincoln1000 »

Nessa questão eu havia encontrado [tex3]d = \frac{H . R}{H + R} [/tex3] , que sai facilmente fazendo qualquer relação como você disse, porém a fuvest me deu uma rasteira, a resposta estava na minha frente e não pude perceber kkkk Tô fazendo bastante exercícios da fuvest e percebo algumas "peculiaridades" da prova, como esta, já apareceu mais questões semelhantes depois dessa e consegui fazer depois que aprendi com sua resolução. Bom, fuvest é fuvest, tem que apanhar um pouco pra pegar o jeito haha, valeu mesmo pela ajuda!!
Logo logo estarei postando mais da fuvest :lol:



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