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(Simulado Unifesp)Números complexos
Enviado: Sáb 04 Nov, 2017 00:37
por kagenizio
A) Resolver, no conjunto dos números complexos, a equação [tex3]\frac{x ^{3}+x^{2}+x+8}{x}=1+x[/tex3]
B) Obter o volume do cone gerado pela rotação do triângulo, cujos vértices são os afixos das raízes da equação do item (a), em torno do eixo das abscissas.
Re: (Simulado Unifesp)Números complexos
Enviado: Sáb 04 Nov, 2017 01:35
por leomaxwell
Olá,
a) [tex3]\frac{x ^{3}+x^{2}+x+8}{x}=1+x[/tex3]
, [tex3]x≠0[/tex3]
Para [tex3]x≠0[/tex3]
:
[tex3]\frac{x ^{3}+x^{2}+x+8}{x}=1+x [/tex3]
Multiplicando ambos os lados por [tex3]x[/tex3]
:
[tex3]x^3+\cancel x^2+\cancel x+8=\cancel x+\cancel x²[/tex3]
[tex3]x³+8=0[/tex3]
Lembrando da fatoração a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²), vem:
[tex3](x+2)(x²-2x+4)=0[/tex3]
Daí [tex3]x+2=0 \ \ \ (1)[/tex3]
ou [tex3]x²-2x+4=0 \ \ \ (2)[/tex3]
Do caso (1) temos [tex3]x+2=0 \Longleftrightarrow x =-2[/tex3]
Do caso (2) temos [tex3]x²-2x+4=0 \Longleftrightarrow x=1±i\sqrt 3[/tex3]
[tex3]S=\{1,1±\sqrt 3\}[/tex3]
b) como estou no celular agr, não dá pra explicar certinho, mas desenha o plano dos complexos pelos reais e marca as raízes do item a). Vc vai ter um triângulo isósceles, que revolucionando vai formar um cone de raio [tex3]r=i[/tex3]
e altura [tex3]h=3[/tex3]
, então:
[tex3]V=\frac13 πr²h=πi²[/tex3]
Não tenho muita certeza se fiz a letra b) certa, alguém.me corrige por favor se tiver algo errado