Cara, pra mim isso não faz muito sentido. Que simetria é essa?
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 2006) Geometria Analítica Tópico resolvido
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Out 2017
29
23:42
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
Set 2023
02
19:30
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
Após perceber que os pontos A, B, O e C pertencem à circunferência de centro (u,v) e raio r, basta substituí-los na equação da circunferência (x - u)^2 + (x - v)^2 = r^2
Para o ponto A(3,3), temos (3 - u)^2 + (3 - v)^2 = r^2
9 - 6u + u^2 + 9 - 6v + v^2 = r^2
u^2 - 6u + v^2 - 6v + 18 = r^2 (Equação 1)
Para o ponto B(4,2), temos (4 - u)^2 + (2 - v)^2 = r^2
16 - 8u + u^2 + 4 - 4v + v^2 = r^2
u^2 - 8u + v^2 - 4v + 20 = r^2 (Equação 2)
E para o ponto O(0,0), temos u^2 + v^2 = r^2 (Equação 3)
Substituindo a equação 3 na 1 e na 2, ou seja, cortando u^2, v^2 e r^2 das duas primeiras, chegamos em
- 6u - 6v + 18 = 0
- 8u - 4v + 20 = 0
Simplificando
u + v = 3
2u + v = 5
Resolvendo o sistema linear, obtemos u = 2 e v = 1, ou seja, o centro da circunferência.
Agora falta r^2. Pela equação 3 temos,
r^2 = u^2 + v^2 = 2^2 + 1^2 = 5
Portanto, podemos definir a equação da circunferência.
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5
Substituindo o ponto C(2,yo) na equação definida, obtemos
(2 - 2)^2 + (yo - 1)^2 = 5
Resolvendo, obtemos dois valores para yo
yo = 1 + 5^(0.5) e yo = 1 - 5^(0.5)
Como o enunciado diz que o ponto C pertence ao 4º quadrante, então yo deve ser negativo, e portanto yo = 1 - 5^(0.5).
Assim nossa resposta é C(2, 1 - 5^(0.5))
Para o ponto A(3,3), temos (3 - u)^2 + (3 - v)^2 = r^2
9 - 6u + u^2 + 9 - 6v + v^2 = r^2
u^2 - 6u + v^2 - 6v + 18 = r^2 (Equação 1)
Para o ponto B(4,2), temos (4 - u)^2 + (2 - v)^2 = r^2
16 - 8u + u^2 + 4 - 4v + v^2 = r^2
u^2 - 8u + v^2 - 4v + 20 = r^2 (Equação 2)
E para o ponto O(0,0), temos u^2 + v^2 = r^2 (Equação 3)
Substituindo a equação 3 na 1 e na 2, ou seja, cortando u^2, v^2 e r^2 das duas primeiras, chegamos em
- 6u - 6v + 18 = 0
- 8u - 4v + 20 = 0
Simplificando
u + v = 3
2u + v = 5
Resolvendo o sistema linear, obtemos u = 2 e v = 1, ou seja, o centro da circunferência.
Agora falta r^2. Pela equação 3 temos,
r^2 = u^2 + v^2 = 2^2 + 1^2 = 5
Portanto, podemos definir a equação da circunferência.
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5
Substituindo o ponto C(2,yo) na equação definida, obtemos
(2 - 2)^2 + (yo - 1)^2 = 5
Resolvendo, obtemos dois valores para yo
yo = 1 + 5^(0.5) e yo = 1 - 5^(0.5)
Como o enunciado diz que o ponto C pertence ao 4º quadrante, então yo deve ser negativo, e portanto yo = 1 - 5^(0.5).
Assim nossa resposta é C(2, 1 - 5^(0.5))
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