Pré-Vestibular(FUVEST 2006) Geometria Analítica Tópico resolvido

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Caique
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Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica

Mensagem não lida por Caique »

Ittalo25 escreveu:
Dom 29 Out, 2017 22:57
Como os pontos O(0,0) e B(4,2) estão na circunferência, pela simetria das coordenadas o ponto E(4,0) também pertence
Cara, pra mim isso não faz muito sentido. Que simetria é essa?




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KDO
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Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica

Mensagem não lida por KDO »

Após perceber que os pontos A, B, O e C pertencem à circunferência de centro (u,v) e raio r, basta substituí-los na equação da circunferência (x - u)^2 + (x - v)^2 = r^2

Para o ponto A(3,3), temos (3 - u)^2 + (3 - v)^2 = r^2
9 - 6u + u^2 + 9 - 6v + v^2 = r^2
u^2 - 6u + v^2 - 6v + 18 = r^2 (Equação 1)

Para o ponto B(4,2), temos (4 - u)^2 + (2 - v)^2 = r^2
16 - 8u + u^2 + 4 - 4v + v^2 = r^2
u^2 - 8u + v^2 - 4v + 20 = r^2 (Equação 2)

E para o ponto O(0,0), temos u^2 + v^2 = r^2 (Equação 3)

Substituindo a equação 3 na 1 e na 2, ou seja, cortando u^2, v^2 e r^2 das duas primeiras, chegamos em

- 6u - 6v + 18 = 0
- 8u - 4v + 20 = 0

Simplificando

u + v = 3
2u + v = 5

Resolvendo o sistema linear, obtemos u = 2 e v = 1, ou seja, o centro da circunferência.
Agora falta r^2. Pela equação 3 temos,

r^2 = u^2 + v^2 = 2^2 + 1^2 = 5

Portanto, podemos definir a equação da circunferência.

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5

Substituindo o ponto C(2,yo) na equação definida, obtemos

(2 - 2)^2 + (yo - 1)^2 = 5

Resolvendo, obtemos dois valores para yo

yo = 1 + 5^(0.5) e yo = 1 - 5^(0.5)

Como o enunciado diz que o ponto C pertence ao 4º quadrante, então yo deve ser negativo, e portanto yo = 1 - 5^(0.5).

Assim nossa resposta é C(2, 1 - 5^(0.5))




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