Resposta
[tex3]A(4;2)[/tex3] [tex3]B(3;3)[/tex3]
Resposta
[tex3]C(2;1-\sqrt{5})[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 2006) Geometria Analítica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
lincoln1000 
- Mensagens: 350
- Registrado em: Dom 02 Jul, 2017 00:11
- Última visita: 31-07-20
- Contato:
Out 2017
29
17:38
(FUVEST 2006) Geometria Analítica
a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de [tex3]y=\frac{12}{x}-1[/tex3]
e [tex3]x+y-6=0[/tex3]
se interceptam.
[tex3]A(4;2)[/tex3] [tex3]B(3;3)[/tex3]
b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz [tex3]A\hat{O}B=A\hat{C}B[/tex3]
e que pertence à reta [tex3]x=2[/tex3]
[tex3]C(2;1-\sqrt{5})[/tex3]
[tex3]A(4;2)[/tex3] [tex3]B(3;3)[/tex3]
[tex3]C(2;1-\sqrt{5})[/tex3]
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
Out 2017
29
18:18
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
a)
[tex3]\frac{12}{x}-1 = -x + 6[/tex3]
[tex3]-x^2 + 7x-12 = 0[/tex3]
[tex3]x \in \{3,4\}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
A=(3,3) \\
B=(4,2)
\end{cases}[/tex3]
b)
Seja C = (2,x) o ponto procurado.
O ponto C está inscrito na circunferência que passa pelos pontos O, A e B, pois <AOB = <ACB
Daí precisaria achar o centro e o raio para montar a equação da circunferência e isso daria muito trabalho
Mas a sacada é perceber que sendo D o ponto médio de OB, então OD = DB, ou seja OB é diâmetro da circunferência
sendo assim o centro da circunferência é:
[tex3]\begin{cases}
x_c = \frac{4+0}{2}=2 \\
y_c = \frac{2+0}{2}=1
\end{cases}[/tex3]
E o raio é: [tex3]DO = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5} [/tex3]
E portanto a equação da circunferência é:
E o raio é: [tex3](x-2)^2 + (y-1)^2 = 5 [/tex3]
Daí basta achar a intersecção com a reta x = 2
[tex3](2-2)^2 + (y-1)^2 = 5 [/tex3]
[tex3]y = 1 - \sqrt{5} [/tex3]
então [tex3]C =(2, 1 - \sqrt{5}) [/tex3]
[tex3]\frac{12}{x}-1 = -x + 6[/tex3]
[tex3]-x^2 + 7x-12 = 0[/tex3]
[tex3]x \in \{3,4\}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
A=(3,3) \\
B=(4,2)
\end{cases}[/tex3]
b)
- cemd.png (144.31 KiB) Exibido 2268 vezes
O ponto C está inscrito na circunferência que passa pelos pontos O, A e B, pois <AOB = <ACB
Daí precisaria achar o centro e o raio para montar a equação da circunferência e isso daria muito trabalho
Mas a sacada é perceber que sendo D o ponto médio de OB, então OD = DB, ou seja OB é diâmetro da circunferência
sendo assim o centro da circunferência é:
[tex3]\begin{cases}
x_c = \frac{4+0}{2}=2 \\
y_c = \frac{2+0}{2}=1
\end{cases}[/tex3]
E o raio é: [tex3]DO = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5} [/tex3]
E portanto a equação da circunferência é:
E o raio é: [tex3](x-2)^2 + (y-1)^2 = 5 [/tex3]
Daí basta achar a intersecção com a reta x = 2
[tex3](2-2)^2 + (y-1)^2 = 5 [/tex3]
[tex3]y = 1 - \sqrt{5} [/tex3]
então [tex3]C =(2, 1 - \sqrt{5}) [/tex3]
Última edição: Ittalo25 (Dom 29 Out, 2017 18:20). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
jrneliodias 
- Mensagens: 2578
- Registrado em: Sáb 16 Jun, 2012 17:15
- Última visita: 23-05-22
- Localização: Belém - PA
Out 2017
29
18:40
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
Olá, jovem.
a) [tex3]y= \frac{12}{x}-1=6-x[/tex3]
[tex3]12-x=6x-x^2[/tex3]
[tex3]x^2-7x+12=0[/tex3]
[tex3](x-4)(x-3)= 0[/tex3]
[tex3]x=4\,\,\,ou\,\,\,x=3[/tex3]
Substituindo na equação temos [tex3]\,\,A(3,3)\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,B(4,2)\,\,[/tex3]
b) Veja que são dois ãngulos enxergando um mesmo segmento. A igualdade ocorre quando esses dois ângulos estão inscritas na mesma circunferência e o segmento é uma corda dela. Ou seja, nosso dever agora é encontrar a circunferência que passa por [tex3]\,\,A\,\,[/tex3] , [tex3]\,\,B\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,O\,\,[/tex3]
Assim, devemos obter a interseção das mediatrizes [tex3]\,\,AO\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,BO\,\,[/tex3] para obter o centro da circunferência. Primeiro, obtemos o coeficiente angular das retas as quais são perpendiculares:
[tex3]m_{AO}\cdot m_1=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,m_1=-1[/tex3]
[tex3]m_{BO}\cdot m_2=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,m_2=-2[/tex3]
Assim, as mediatrizes passa pelo ponto médio dos segmentos [tex3]\,\,AO\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,BO\,\,[/tex3] . Temos,
[tex3](1):\,\,\,\,y-1,5=-(x-1,5)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,2y-3=-2x+3\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,y+x-3=0[/tex3]
[tex3](2):\,\,\,\,y-1=-2(x-2)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,y+2x-5=0[/tex3]
Obter a interseção [tex3]\,\,I\,\,[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
y+x=3\\
y+2x=5
\end{cases}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,I(2,1)[/tex3]
Então, o raio será a distância para qualquer um dos pontos. Assim, pegamos [tex3]\,\,O\,\,[/tex3] para ficar mais fácil.
[tex3]r^2=2^2+1^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,r^2=5[/tex3]
A equação da circunferência será
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2=5[/tex3]
Por fim, para obtermos [tex3]\,\,C\,\,[/tex3] basta fazer a interseção da circunferência com a reta [tex3]\,\,x-2=0\,\,[/tex3]
[tex3](2-2)^2+(y-1)^2=5[/tex3]
[tex3](y-1)^2-5=0[/tex3]
[tex3](y-1+\sqrt 5)(y-1-\sqrt 5)=0[/tex3]
Como pertence a quarto quadrante, [tex3]\,\,y< 0 \,\,[/tex3] .
Portanto, [tex3]\,\,C(2, 1-\sqrt 5)\,\,[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
a) [tex3]y= \frac{12}{x}-1=6-x[/tex3]
[tex3]12-x=6x-x^2[/tex3]
[tex3]x^2-7x+12=0[/tex3]
[tex3](x-4)(x-3)= 0[/tex3]
[tex3]x=4\,\,\,ou\,\,\,x=3[/tex3]
Substituindo na equação temos [tex3]\,\,A(3,3)\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,B(4,2)\,\,[/tex3]
b) Veja que são dois ãngulos enxergando um mesmo segmento. A igualdade ocorre quando esses dois ângulos estão inscritas na mesma circunferência e o segmento é uma corda dela. Ou seja, nosso dever agora é encontrar a circunferência que passa por [tex3]\,\,A\,\,[/tex3] , [tex3]\,\,B\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,O\,\,[/tex3]
Assim, devemos obter a interseção das mediatrizes [tex3]\,\,AO\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,BO\,\,[/tex3] para obter o centro da circunferência. Primeiro, obtemos o coeficiente angular das retas as quais são perpendiculares:
[tex3]m_{AO}\cdot m_1=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,m_1=-1[/tex3]
[tex3]m_{BO}\cdot m_2=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,m_2=-2[/tex3]
Assim, as mediatrizes passa pelo ponto médio dos segmentos [tex3]\,\,AO\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,BO\,\,[/tex3] . Temos,
[tex3](1):\,\,\,\,y-1,5=-(x-1,5)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,2y-3=-2x+3\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,y+x-3=0[/tex3]
[tex3](2):\,\,\,\,y-1=-2(x-2)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,y+2x-5=0[/tex3]
Obter a interseção [tex3]\,\,I\,\,[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
y+x=3\\
y+2x=5
\end{cases}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,I(2,1)[/tex3]
Então, o raio será a distância para qualquer um dos pontos. Assim, pegamos [tex3]\,\,O\,\,[/tex3] para ficar mais fácil.
[tex3]r^2=2^2+1^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,r^2=5[/tex3]
A equação da circunferência será
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2=5[/tex3]
Por fim, para obtermos [tex3]\,\,C\,\,[/tex3] basta fazer a interseção da circunferência com a reta [tex3]\,\,x-2=0\,\,[/tex3]
[tex3](2-2)^2+(y-1)^2=5[/tex3]
[tex3](y-1)^2-5=0[/tex3]
[tex3](y-1+\sqrt 5)(y-1-\sqrt 5)=0[/tex3]
Como pertence a quarto quadrante, [tex3]\,\,y< 0 \,\,[/tex3] .
Portanto, [tex3]\,\,C(2, 1-\sqrt 5)\,\,[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
-
lincoln1000
- Mensagens: 350
- Registrado em: Dom 02 Jul, 2017 00:11
- Última visita: 31-07-20
- Contato:
Out 2017
29
19:16
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
Muito obrigado pela ajuda Ittalo25 e jrneliodias!
Não sabia dessa, por isso não tinha conseguido enxergar a circunferência nesse problema, valeu!jrneliodias escreveu: ↑Dom 29 Out, 2017 18:40Veja que são dois ãngulos enxergando um mesmo segmento. A igualdade ocorre quando esses dois ângulos estão inscritas na mesma circunferência e o segmento é uma corda dela
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
Out 2017
29
20:01
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
qual é o raciocínio aqui para poder afirmar isso?
Última edição: Killin (Dom 29 Out, 2017 20:05). Total de 1 vez.
Life begins at the end of your comfort zone.
Out 2017
29
21:56
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
calculei o ponto médio de OB porque ele é o centro da circunferência
sendo 2 pontos A(x,y) e B(w,z), o ponto médio do segmento AB é dado por [tex3]\left(\frac{x+w}{2}, \frac{y+z}{2}\right)[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Out 2017
29
22:24
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
Fiquei devendo mesmo uma melhor explicação sobre isso.
Observe os pontos O(0,0) e E(4,0), eles pertencem à circunferência.
A reta x=2 é mediatriz do segmento OE e passa pelo ponto médio de OB
Então OB é diâmetro da circunferência
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
Caique
- Mensagens: 62
- Registrado em: Sáb 04 Out, 2014 17:26
- Última visita: 13-12-17
- Localização: Salvador - BA
Out 2017
29
22:47
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
Como sabe que E(4,0) pertence a circunferencia se no inicio do problema você não tinha a circunferência?
E como sabe que x=2 passa no ponto medio de OB?
Out 2017
29
22:57
Re: (FUVEST 2006) Geometria Analítica
Como os pontos O(0,0) e B(4,2) estão na circunferência, pela simetria das coordenadas o ponto E(4,0) também pertenceCaique escreveu: ↑Dom 29 Out, 2017 22:47Como sabe que E(4,0) pertence a circunferencia se no inicio do problema você não tinha a circunferência?
E como sabe que x=2 passa no ponto medio de OB?
o ponto médio de OB é (2,1), então obviamente a reta x=2 passa por ele.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
