Resposta
[tex3]\frac{3\pi}{2}\leq x\leq \frac{11\pi}{6}[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 2003) Trigonometria Tópico resolvido
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lincoln1000 
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00:46
(FUVEST 2003) Trigonometria
Determine os valores de [tex3]x[/tex3]
no intervalo [tex3]]0, 2\pi[[/tex3]
para os quais [tex3]cosx\geq \sqrt{3}senx +\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\frac{3\pi}{2}\leq x\leq \frac{11\pi}{6}[/tex3]
[tex3]\frac{3\pi}{2}\leq x\leq \frac{11\pi}{6}[/tex3]
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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joaopcarv 
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02:32
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
Vou tentar fazer do celular rsrs, vamos ver no que dá... 
[tex3]cos(x) \ \geq \ \sqrt{3} \cdot \ sen(x) \
+ \ \sqrt{3} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]cos(x) \ \geq \ \sqrt{3} \ \cdot \ (sen(x)
\ + \ 1) \ \rightarrow [/tex3]
Observe que, antes de tudo, [tex3]cos(x) \ \geq \ 0[/tex3] , pois o seno mínimo é [tex3]-1[/tex3] , logo, o mínimo da expressão é [tex3]0[/tex3] , e qualquer outro valor faz o cosseno passar de [tex3]0[/tex3] .
Elevando tudo ao quadrado:
[tex3]cos^2(x) \ \geq \ 3 \ \cdot \ (sen^2(x) \ +
\ 2 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 1) \ \rightarrow [/tex3]
[tex3]1 \ - \ sen^2(x) \ \geq \ 3 \ \cdot \ sen^2(x) \ + \ 6 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 3 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]0 \ \geq \ 4 \ \cdot \ sen^2(x) \ + \ 6 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 2 \ \rightarrow [/tex3]
[tex3]2 \ \cdot \ sen^2(x) \ + \ 3 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 1 \ \leq \ 0[/tex3]
Resolvendo por Bháskara [tex3]\Delta \ =
\ 1 [/tex3] , achamos ou :
[tex3]\longrightarrow \ sen(x) \ \geq \ -1 [/tex3]
Ângulos dos terceiro e quarto quadrante, ao se aproximarem de [tex3]\frac{3 \ \cdot \ \pi}{2}[/tex3] , têm seus senos diminuidos. Então [tex3]x[/tex3] está entre os arcosenos de [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3] .
[tex3]\frac{7 \ \cdot \ \pi}{6} \ \leq \ x \ \leq \ \frac{3 \ \cdot \ \pi}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3 \ \cdot \ \pi}{2} \ \leq \ x \ \leq \ \frac{11 \ \cdot \ \pi}{6}[/tex3]
Mas lembre-se que determinamos que [tex3]cos(x) \ \geq \ 0[/tex3] , ou seja, valores dos segundo e terceiro quadrante (como [tex3]\frac{7 \ \cdot \ \pi}{6}[/tex3] ) são descartados!
Logo :
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{3 \ \cdot \ \pi}{2} \ \leq \ x \ \leq \ \frac{11 \ \cdot \ \pi}{6}}}[/tex3]
[tex3]cos(x) \ \geq \ \sqrt{3} \cdot \ sen(x) \
+ \ \sqrt{3} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]cos(x) \ \geq \ \sqrt{3} \ \cdot \ (sen(x)
\ + \ 1) \ \rightarrow [/tex3]
Observe que, antes de tudo, [tex3]cos(x) \ \geq \ 0[/tex3] , pois o seno mínimo é [tex3]-1[/tex3] , logo, o mínimo da expressão é [tex3]0[/tex3] , e qualquer outro valor faz o cosseno passar de [tex3]0[/tex3] .
Elevando tudo ao quadrado:
[tex3]cos^2(x) \ \geq \ 3 \ \cdot \ (sen^2(x) \ +
\ 2 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 1) \ \rightarrow [/tex3]
[tex3]1 \ - \ sen^2(x) \ \geq \ 3 \ \cdot \ sen^2(x) \ + \ 6 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 3 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]0 \ \geq \ 4 \ \cdot \ sen^2(x) \ + \ 6 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 2 \ \rightarrow [/tex3]
[tex3]2 \ \cdot \ sen^2(x) \ + \ 3 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 1 \ \leq \ 0[/tex3]
Resolvendo por Bháskara [tex3]\Delta \ =
\ 1 [/tex3] , achamos ou :
[tex3]\longrightarrow \ sen(x) \ \geq \ -1 [/tex3]
Ângulos dos terceiro e quarto quadrante, ao se aproximarem de [tex3]\frac{3 \ \cdot \ \pi}{2}[/tex3] , têm seus senos diminuidos. Então [tex3]x[/tex3] está entre os arcosenos de [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3] .
[tex3]\frac{7 \ \cdot \ \pi}{6} \ \leq \ x \ \leq \ \frac{3 \ \cdot \ \pi}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3 \ \cdot \ \pi}{2} \ \leq \ x \ \leq \ \frac{11 \ \cdot \ \pi}{6}[/tex3]
Mas lembre-se que determinamos que [tex3]cos(x) \ \geq \ 0[/tex3] , ou seja, valores dos segundo e terceiro quadrante (como [tex3]\frac{7 \ \cdot \ \pi}{6}[/tex3] ) são descartados!
Logo :
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{3 \ \cdot \ \pi}{2} \ \leq \ x \ \leq \ \frac{11 \ \cdot \ \pi}{6}}}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Qui 26 Out, 2017 10:15). Total de 2 vezes.
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15:01
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
Como você chegou a essa conclusão?
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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joaopcarv
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26
15:23
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
ah desculpe, eu editei e acabei apagando a sentença...
É porque você acha também ou [tex3]\rightarrow sen(x) \ \leq \ \frac{-1}{2}[/tex3] . (onde foi parar essa linha..?)
Daí é que nem eu falei, os ângulos com esse requisito ficam entre os arcosenos de [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3] ([tex3]\frac{7 \ \cdot \ \pi}{6}[/tex3] e [tex3]\frac{11 \ \cdot \ \pi}{6}[/tex3] )
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joaopcarv
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26
15:26
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
"achamos ou" faltou completar o outro valor. lapso meu
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26
15:27
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
Ah sim, perfeito! grato pela ajuda
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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LucasPinafi 
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Out 2017
26
15:44
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
outra maneira
[tex3]\begin{align} \cos x & \geq \sqrt 3 \sen x + \sqrt 3 \\ \cos x- \sqrt 3 \sen x & \geq \sqrt 3 \\ \frac 1 2 \cos x - \frac{\sqrt 3 } 2 \sen x & \geq \sqrt 3 \\ \sen \left( \frac{\pi}{6} \right) \cos x - \cos\left( \frac{\pi} 6 \right) \sen x & \geq \frac{\sqrt 3} 2 \\ \sen\left(\frac{\pi} 6 - x \right) & \geq \sen \left( \frac{\pi}{3} \right) \end{align}[/tex3]
Agora, basta resolvermos essa inequação. Temos:
[tex3]\frac{\pi }{3} < \frac{\pi }{6} -x < \frac{2\pi }{3} \Longrightarrow \frac{\pi }{6}< -x < \frac{\pi } 2 \Longrightarrow - \frac{\pi } 6 < x < - \frac \pi 2 [/tex3]
Mas a resposta está diferente do gabarito! Sim, pois o gabarito pede [tex3]x\in [0 , 2\pi ] [/tex3] ;
[tex3]- \frac{\pi } 2 + 2k\pi < x < - \frac{\pi} 6 +2k \pi [/tex3] ; fazendo k = 1:
[tex3]\frac{2\pi} 3 < x < \frac{11\pi}{6} [/tex3]
[tex3]\begin{align} \cos x & \geq \sqrt 3 \sen x + \sqrt 3 \\ \cos x- \sqrt 3 \sen x & \geq \sqrt 3 \\ \frac 1 2 \cos x - \frac{\sqrt 3 } 2 \sen x & \geq \sqrt 3 \\ \sen \left( \frac{\pi}{6} \right) \cos x - \cos\left( \frac{\pi} 6 \right) \sen x & \geq \frac{\sqrt 3} 2 \\ \sen\left(\frac{\pi} 6 - x \right) & \geq \sen \left( \frac{\pi}{3} \right) \end{align}[/tex3]
Agora, basta resolvermos essa inequação. Temos:
[tex3]\frac{\pi }{3} < \frac{\pi }{6} -x < \frac{2\pi }{3} \Longrightarrow \frac{\pi }{6}< -x < \frac{\pi } 2 \Longrightarrow - \frac{\pi } 6 < x < - \frac \pi 2 [/tex3]
Mas a resposta está diferente do gabarito! Sim, pois o gabarito pede [tex3]x\in [0 , 2\pi ] [/tex3] ;
[tex3]- \frac{\pi } 2 + 2k\pi < x < - \frac{\pi} 6 +2k \pi [/tex3] ; fazendo k = 1:
[tex3]\frac{2\pi} 3 < x < \frac{11\pi}{6} [/tex3]
Última edição: LucasPinafi (Qui 26 Out, 2017 15:53). Total de 1 vez.
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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jrneliodias - Mensagens: 2578
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Out 2017
26
15:48
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
Olá, pessoal.
Muita paciência do joaopcarv para fazer pelo celular kk Parabéns
Outro jeito de resolver é assim
[tex3]\cos x\geq \sqrt{3}\sen x +\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\cos x-\sqrt{3}\sen x \geq\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}\,\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\sen x \geq\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\sen \left(\frac{\pi }{6}\right)\cos x-\cos\left(\frac{\pi }{6}\right) \sen x \geq\sen \left(\frac{\pi }{3}\right)[/tex3]
[tex3]\sen \left(\frac{\pi }{6}-x\right)\geq\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Como [tex3]\,\,0\leq x\leq 2\pi \,\,[/tex3] então
[tex3]\,\,-2\pi\leq -x\leq 0 \,\,[/tex3]
[tex3]\,\, \frac{\pi }{6}-2\pi\leq \frac{\pi }{6}-x\leq \frac{\pi }{6} \,\,[/tex3]
[tex3]\,\,-\frac{11\pi }{6}\leq \frac{\pi }{6}-x\leq \frac{\pi }{6} \,\,[/tex3]
Logo, estamos trabalhando em [tex3]\,\,[-2\pi,\,0]\,\,[/tex3] , onde o ãngulo que tem seno [tex3]\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,[/tex3] será [tex3]\,\,\sen\left(\frac{\pi}{3}-2\pi\right)=\sen\left(-\frac{5\pi}{3}\right)\,\,[/tex3] assim como [tex3]\,\,\sen\left(\frac{2\pi}{3}-2\pi\right)=\sen\left(-\frac{4\pi}{3}\right)\,\,[/tex3]
Portanto, a inequação será satisfeita quando
[tex3]-\frac{5\pi}{3}\leq \frac{\pi }{6}-x\leq-\frac{4\pi}{3}[/tex3]
[tex3]-\frac{5\pi}{3}-\frac{\pi }{6}\leq- x\leq-\frac{\pi }{6}-\frac{4\pi}{3}[/tex3]
[tex3]-\frac{11\pi}{6}\leq- x\leq-\frac{3\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3\pi}{2}\leq x\leq\frac{11\pi}{6}[/tex3]
Dessa forma, a solução será [tex3]\,\,S=\left\{\,x\,\,\in\,\,\mathbb{R}\,\,|\,\,\frac{3\pi}{2}\leq x\leq\frac{11\pi}{6}\right\}[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Muita paciência do joaopcarv para fazer pelo celular kk Parabéns
Outro jeito de resolver é assim
[tex3]\cos x\geq \sqrt{3}\sen x +\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\cos x-\sqrt{3}\sen x \geq\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}\,\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\sen x \geq\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\sen \left(\frac{\pi }{6}\right)\cos x-\cos\left(\frac{\pi }{6}\right) \sen x \geq\sen \left(\frac{\pi }{3}\right)[/tex3]
[tex3]\sen \left(\frac{\pi }{6}-x\right)\geq\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Como [tex3]\,\,0\leq x\leq 2\pi \,\,[/tex3] então
[tex3]\,\,-2\pi\leq -x\leq 0 \,\,[/tex3]
[tex3]\,\, \frac{\pi }{6}-2\pi\leq \frac{\pi }{6}-x\leq \frac{\pi }{6} \,\,[/tex3]
[tex3]\,\,-\frac{11\pi }{6}\leq \frac{\pi }{6}-x\leq \frac{\pi }{6} \,\,[/tex3]
Logo, estamos trabalhando em [tex3]\,\,[-2\pi,\,0]\,\,[/tex3] , onde o ãngulo que tem seno [tex3]\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,[/tex3] será [tex3]\,\,\sen\left(\frac{\pi}{3}-2\pi\right)=\sen\left(-\frac{5\pi}{3}\right)\,\,[/tex3] assim como [tex3]\,\,\sen\left(\frac{2\pi}{3}-2\pi\right)=\sen\left(-\frac{4\pi}{3}\right)\,\,[/tex3]
Portanto, a inequação será satisfeita quando
[tex3]-\frac{5\pi}{3}\leq \frac{\pi }{6}-x\leq-\frac{4\pi}{3}[/tex3]
[tex3]-\frac{5\pi}{3}-\frac{\pi }{6}\leq- x\leq-\frac{\pi }{6}-\frac{4\pi}{3}[/tex3]
[tex3]-\frac{11\pi}{6}\leq- x\leq-\frac{3\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3\pi}{2}\leq x\leq\frac{11\pi}{6}[/tex3]
Dessa forma, a solução será [tex3]\,\,S=\left\{\,x\,\,\in\,\,\mathbb{R}\,\,|\,\,\frac{3\pi}{2}\leq x\leq\frac{11\pi}{6}\right\}[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Última edição: jrneliodias (Qui 26 Out, 2017 15:53). Total de 2 vezes.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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lincoln1000
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26
16:26
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
Vejo que a fuvest tem muita criatividade na elaboração das questões haha
Obrigado a todos, me ajuda bastante conhecer diversas formas de resolver, valeuu
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joaopcarv
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17:43
Re: (FUVEST 2003) Trigonometria
muito obrigado pela consideração, mestre jrneliodiasjrneliodias escreveu: ↑Qui 26 Out, 2017 15:48Olá, pessoal.
Muita paciência do joaopcarv para fazer pelo celular kk Parabéns
Outro jeito de resolver é assim
[tex3]\cos x\geq \sqrt{3}\sen x +\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\cos x-\sqrt{3}\sen x \geq\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}\,\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\sen x \geq\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\sen \left(\frac{\pi }{6}\right)\cos x-\cos\left(\frac{\pi }{6}\right) \sen x \geq\sen \left(\frac{\pi }{3}\right)[/tex3]
[tex3]\sen \left(\frac{\pi }{6}-x\right)\geq\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Como [tex3]\,\,0\leq x\leq 2\pi \,\,[/tex3] então
[tex3]\,\,-2\pi\leq -x\leq 0 \,\,[/tex3]
[tex3]\,\, \frac{\pi }{6}-2\pi\leq \frac{\pi }{6}-x\leq \frac{\pi }{6} \,\,[/tex3]
[tex3]\,\,-\frac{11\pi }{6}\leq \frac{\pi }{6}-x\leq \frac{\pi }{6} \,\,[/tex3]
Logo, estamos trabalhando em [tex3]\,\,[-2\pi,\,0]\,\,[/tex3] , onde o ãngulo que tem seno [tex3]\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,[/tex3] será [tex3]\,\,\sen\left(\frac{\pi}{3}-2\pi\right)=\sen\left(-\frac{5\pi}{3}\right)\,\,[/tex3] assim como [tex3]\,\,\sen\left(\frac{2\pi}{3}-2\pi\right)=\sen\left(-\frac{4\pi}{3}\right)\,\,[/tex3]
Portanto, a inequação será satisfeita quando
[tex3]-\frac{5\pi}{3}\leq \frac{\pi }{6}-x\leq-\frac{4\pi}{3}[/tex3]
[tex3]-\frac{5\pi}{3}-\frac{\pi }{6}\leq- x\leq-\frac{\pi }{6}-\frac{4\pi}{3}[/tex3]
[tex3]-\frac{11\pi}{6}\leq- x\leq-\frac{3\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3\pi}{2}\leq x\leq\frac{11\pi}{6}[/tex3]
Dessa forma, a solução será [tex3]\,\,S=\left\{\,x\,\,\in\,\,\mathbb{R}\,\,|\,\,\frac{3\pi}{2}\leq x\leq\frac{11\pi}{6}\right\}[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
nossa, a sua resolução e a do LucasPinafi são nível hard, haha, para semi-deuses das exatas só kkkkk
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