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Números Complexos FADEP 2017/2018
Enviado: Dom 22 Out, 2017 10:00
por Caiocesar999
(FADEP 2017/2018) A representação das raízes reais e complexas, B, G e H, da equação [tex3]\,\, z^{3} -1= 0\,\,[/tex3]
no plano de Argand-Gauss está representada no desenho abaixo:
- 1.png (14.95 KiB) Exibido 918 vezes
As raízes da referida equação são:
a) [tex3]1 ; - \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3 } 2 i ; - \frac 1 2 - \frac{\sqrt 3 } 2 i [/tex3]
b) [tex3]1; \frac 1 2 - \frac{\sqrt 3 } 2 i ; \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3 } 2 i [/tex3]
c) [tex3]1; \frac{\sqrt 3 } 2 + \frac 1 2 i ; \frac{\sqrt 3 } 2 - \frac 1 2 i [/tex3]
d) [tex3]1; -1 ; \frac{\sqrt 3} 2 i [/tex3]
e) [tex3]1; \frac{\sqrt 3 } 2 ; - \frac 1 2 i [/tex3]
Re: Números Complexos FADEP 2017/2018
Enviado: Dom 22 Out, 2017 12:25
por jrneliodias
Caiocesar999,
podemos fazer por fatoração,
[tex3]z^{3} -1= 0[/tex3]
[tex3](z-1)(z^2+z+1)= 0[/tex3]
[tex3]z=1\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,z^2+z+1= 0[/tex3]
[tex3]z-1=0\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\left(z+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}= 0[/tex3]
[tex3]1=-i^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\frac{3}{4}=-\frac{3i^2}{4}[/tex3]
[tex3]z=1\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\left(z+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3i^2}{4}= 0[/tex3]
[tex3]z=1\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\left(z+\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt 3}{2}\right)\left(z+\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt 3}{2}\right)= 0[/tex3]
[tex3]z=1\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,z=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt 3}{2}\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,z=-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt 3}{2}[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Re: Números Complexos FADEP 2017/2018
Enviado: Dom 22 Out, 2017 12:36
por joaopcarv
[tex3]z^3 \ - \ 1 \ = \ 0 \ \rightarrow[/tex3]
Três raízes
[tex3]z^3 \ = \ 1[/tex3]
Vamos colocar tudo na forma trigonométrica :
Para o [tex3]1 \ \longrightarrow[/tex3]
Sendo [tex3]1[/tex3]
na forma [tex3]z \ = \ a \ + \ b \ \cdot \ i[/tex3]
, temos que [tex3]a \ = \ 1[/tex3]
e [tex3]b \ = \ 0[/tex3]
.
O módulo [tex3]m[/tex3]
será [tex3]\sqrt{1^2 \ + \ 0^2} \ = \ 1[/tex3]
.
O argumento é [tex3]arcsen(\frac{0}{1})[/tex3]
e [tex3]arrcos(\frac{1}{1}) \ = \ 2 \ \cdot \ K \ \cdot \ \pi, \ K \ \in \ \mathbb{N}[/tex3]
.
Para o [tex3]z^3 \ \longrightarrow[/tex3]
O módulo de [tex3]z[/tex3]
será [tex3]|z|[/tex3]
e o argumento [tex3]\theta[/tex3]
. Para [tex3]z^3[/tex3]
, aplicamos De Moivre :
[tex3]z^3 \ = \ |z|^3 \ \cdot \ (cos(3 \ \cdot \ \theta) \ + \ i \ \cdot \ sen(3 \ \cdot \ \theta))[/tex3]
.
Agora sim, igualando [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]|z|^3 \ \cdot \ (cos(3 \ \cdot \ \theta) \ + \ i \ \cdot \ sen(3 \ \cdot \ \theta)) \ = \ 1 \ \cdot \ (cos(2 \ \cdot \ K \ \cdot \ \pi) \ + \ i \ \cdot \ sen(2 \ \cdot \ K \ \cdot \ \pi)) \ \rightarrow[/tex3]
De imediato, [tex3]|z|^3 \ = \ 1 \ \rightarrow z \ = \ 1[/tex3]
pois [tex3]|z| \ \in \ \mathbb{R}[/tex3]
.
Igualando os argumentos :
[tex3]3 \ \cdot \ \theta \ = \ 2 \ \cdot \ K \ \cdot \ \pi \ \rightarrow[/tex3]
Como são [tex3]3[/tex3]
raízes, são [tex3]3[/tex3]
voltas trigonométricas, então fazemos [tex3]K \ = \ 1,2,3 \ \rightarrow[/tex3]
Para [tex3]K \ = \ 1 \ \longrightarrow[/tex3]
[tex3]3 \ \cdot \ \theta_1 \ = \ 2 \ \cdot \ 1 \ \cdot \ \pi \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\theta_1 \ = \ \frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}} \ \rightarrow[/tex3]
E para isso, temos :
[tex3]z_1 \ = \ \cancelto{1}{|z|} \ \cdot \ (cos(\cancelto{\frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}}{\theta_1}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\cancelto{\frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}}{\theta_1})) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]z_1 \ = \ cos(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{z_1 \ = \ \frac{-1 \ + \ i \ \cdot \ \sqrt{3}}{2}}}[/tex3]
Para [tex3]K \ = \ 2 \ \longrightarrow[/tex3]
[tex3]3 \ \cdot \ \theta_2 \ = \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ \pi \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\theta_2 \ = \ \frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}} \ \rightarrow[/tex3]
E para isso, temos :
[tex3]z_2 \ = \ \cancelto{1}{|z|} \ \cdot \ (cos(\cancelto{\frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}}{\theta_2}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\cancelto{\frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}}{\theta_2})) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]z_2 \ = \ cos(\frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{z_2 \ = \ \frac{-1 \ - \ i \ \cdot \ \sqrt{3}}{2}}}[/tex3]
Para [tex3]K \ = \ 3 \ \longrightarrow[/tex3]
[tex3]\cancel{3} \ \cdot \ \theta_3 \ = \ 2 \ \cdot \ \cancel{3} \ \cdot \ \pi \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\theta_3 \ = \ 2 \ \cdot \ \pi} \ \rightarrow[/tex3]
E para isso, temos :
[tex3]z_3 \ = \ \cancelto{1}{|z|} \ \cdot \ (cos(\cancelto{2 \ \cdot \ \pi}{\theta_3}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\cancelto{2 \ \cdot \ \pi}{\theta_3})) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]z_3 \ = \ cos(2 \ \cdot \ \pi) \ + \ i \ \cdot \ sen(2 \ \cdot \ \pi) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{z_3 \ = \ 1}}[/tex3]
Re: Números Complexos FADEP 2017/2018
Enviado: Dom 22 Out, 2017 13:28
por Caiocesar999
Obrigado pelas resoluções, consegui compreender!
jrneliodias, tenho uma certa dificuldade em fatorar polinômios. Eu conseguiria obter o mesmo resultado caso efetuasse a divisão do polinômio por z-1 (utilizando o algoritmo de Briot-ruffini) e calculasse posteriormente as raízes do quociente da divisão?
Re: Números Complexos FADEP 2017/2018
Enviado: Dom 22 Out, 2017 13:32
por jrneliodias
Caiocesar999, sim, você poderia efutuar a divisão. Daria o mesmo resultado. Lembrando que usei um produto notável básico,
[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]
Acredito que a base em fatoração é essencial para aprender matemática.
Espero ter ajudado. Abraço.
Re: Números Complexos FADEP 2017/2018
Enviado: Dom 22 Out, 2017 13:57
por Caiocesar999
Sim, é realmente bem básico, não e lembrava dessa diferença de cubos.
Ficaria bastante agradecido se você pudesse resolver esse outro problema :
viewtopic.php?f=1&t=59150 .