Oito amigos serão sorteados, aleatoriamente, para compor duas equipes, uma com cinco e a outra com três integrantes, que se enfrentarão numa gincana. Dois amigos, Leo e Lucas, gostariam de estar na mesma equipe. E mais, gostariam que Dênis, um rival de Lucas, fosse sorteado para a equipe adversária. Sabendo que a ordem de escolha dos integrantes de cada equipe não importa, a probabilidade de o desejo dos dois amigos se concretizar é:
RESPOSTA: 15/56
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Pré-Vestibular ⇒ USCS Medicina 2016 Tópico resolvido
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Out 2017
07
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Re: USCS Medicina 2016
Olá FefeAmaro!FefeAmaro escreveu: ↑07 Out 2017, 17:42 Oito amigos serão sorteados, aleatoriamente, para compor duas equipes, uma com cinco e a outra com três integrantes, que se enfrentarão numa gincana. Dois amigos, Leo e Lucas, gostariam de estar na mesma equipe. E mais, gostariam que Dênis, um rival de Lucas, fosse sorteado para a equipe adversária. Sabendo que a ordem de escolha dos integrantes de cada equipe não importa, a probabilidade de o desejo dos dois amigos se concretizar é:
RESPOSTA: 15/56
Dividamos a resolução em dois casos: Léo e Lucas na equipe com cinco integrantes e Dênis na outra equipe; Léo e Lucas na equipe com três integrantes e Dênis na rival.
CASO I: Léo e Lucas na equipe com cinco...
Determinemos a quantidade total de equipes possíveis da seguinte forma:
Decisão (d): combinar, na equipe com cinco, oito integrantes entre si, [tex3]\mathbf{n(d) = C_{8, 5}}[/tex3] .
obs.: se preferir, pode combinar oito integrantes na equipe com três; o relevante é você contar apenas em uma equipe, afinal, cada 'restante' irá formar apenas uma equipe.
Daí,
[tex3]\mathsf{C_{8, 5} = \frac{8!}{5!(8 - 5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!3!} = 8 \cdot 7 = \boxed{56}}[/tex3]
Por conseguinte, devemos determinar a quantidade de equipe que podem ser formadas atendendo os desejos dos amigos. Segue,
Decisão 1 (d1): colocar Léo na equipe, [tex3]\mathbf{n(d_1) = 1}[/tex3] ;
Decisão 2 (d2): colocar Lucas na equipe, [tex3]\mathbf{n(d_2) = 1}[/tex3] ;
Decisão 3 (d3): combinar os demais integrantes entre si, desde que não sejam os escolhidos em d1 e d2 e o Dênis, [tex3]\mathbf{n(d_3) = C_{5, 3}}[/tex3] .
Portanto, pelo PFC:
[tex3]\mathsf{1 \cdot 1 \cdot C_{5, 3} = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!2!} = 5 \cdot 2 = \boxed{10}}[/tex3]
Desse modo, aplicando a definição de probabilidade, temos: [tex3]\boxed{\mathbf{\frac{10}{56}}}[/tex3] .
De modo análogo,
CASO II: Léo e Lucas na equipe com três...
Determinemos a quantidade total de equipes:
Decisão (d): combinar, na equipe com três, oito integrantes entre si, [tex3]\mathbf{n(d) = C_{8, 3}}[/tex3] .
obs.: se preferir, pode combinar oito integrantes na equipe com cinco; o importante é você contar apenas em uma equipe, afinal, cada integrante que sobrar, irá formar a outra equipe.
Logo,
[tex3]\mathsf{C_{8, 3} = \frac{8!}{3!(8 - 3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3!5!} = 8 \cdot 7 = \boxed{56}}[/tex3]
Ademais, devemos encontrar quantas equipes podem ser formadas a partir dos desejos dos amigos.
Decisão 1 (d1): colocar Léo na equipe, [tex3]\mathbf{n(d_1) = 1}[/tex3] ;
Decisão 2 (d2): colocar Lucas na equipe, [tex3]\mathbf{n(d_2) = 1}[/tex3] ;
Decisão 3 (d3): combinar os demais integrantes entre si, desde que não sejam os escolhidos em d1 e d2 e o Dênis, [tex3]\mathbf{n(d_3) = C_{5, 1}}[/tex3] .
Portanto, pelo PFC:
[tex3]\mathsf{1 \cdot 1 \cdot C_{5, 1} = \frac{5!}{1!(5 - 1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1!4!} = \boxed{5}}[/tex3]
Com isso, temos que: [tex3]\boxed{\mathbf{\frac{5}{56}}}[/tex3]
Por fim, pelo princípio aditivo, concluímos que:
[tex3]\\ \mathsf{\frac{10}{56} + \frac{5}{56} =} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{15}{56}}}}[/tex3]
Editado pela última vez por danjr5 em 07 Out 2017, 19:42, em um total de 1 vez.
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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