Pré-Vestibular ⇒ (Unesp) Juros Compostos Tópico resolvido

[Liliana]

Desejo ter para minha aposentadoria 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancarias recorrentes. Se desejo me aposenta após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais que devo disponibilizar mensalmente é:

Dados: 1,01^361= 36

a) 290,00
b) 286,00
c) 282,00
d) 278,00
e) 274,00

Alguém pode me explicar detalhadamente, fazendo um favor???

[demac]

A questão fala em aplicação mensal fixa e ininterrupta, portanto não podemos apenas usar a fórmula dos juros compostos, pois não temos apenas um aporte.

Chamando de "c" o valor inicial investido, aquele que for depositado ainda no primeiro mês, terá ao fim de 30 anos, um montante de:

[tex3]M = c(1+0,01)^{360}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = c(1+0,01)^{360}[/tex3]

(do primeiro mês até o fim do prazo de 30 anos, o dinheiro ficou rendendo por 360 meses)

No segundo mês, mais "c" será depositado e este ganhará juros compostos por 359 meses, tendo no final:

[tex3]M = c(1,01)^{359}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = c(1,01)^{359}[/tex3]

... e assim por diante.

Ao fim, o valor total obtido será a soma de todos os aportes mensais com seus respectivos juros:

[tex3]M = c(1,01)^{360} +c(1,01)^{359} +c(1,01)^{358}... +c(1,01)^{2}+c(1,01)^{1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = c(1,01)^{360} +c(1,01)^{359} +c(1,01)^{358}... +c(1,01)^{2}+c(1,01)^{1} [/tex3]

, Colocando "c" em evidencia, tem-se:

(**) [tex3]M = c [(1,01)^{360} +(1,01)^{359} +(1,01)^{358}...+(1,01)^{2}+(1,01)^{1}] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = c [(1,01)^{360} +(1,01)^{359} +(1,01)^{358}...+(1,01)^{2}+(1,01)^{1}] [/tex3]

. Se invertemos a sequencia e escrevermos começando pelo [tex3]1,01^{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1,01^{1}[/tex3]

, obtemos:

[tex3]M = c[(1,01)^{1} +(1,01)^{2} +(1,01)^{3}... +(1,01)^{359}+(1,01)^{360} ] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = c[(1,01)^{1} +(1,01)^{2} +(1,01)^{3}... +(1,01)^{359}+(1,01)^{360} ] [/tex3]

, Portanto fica claro que a parte de dentro dos []'s é uma PG:

a1= (1,01)
q= (1,01)
n= 360

A soma da PG : Sn = [tex3]\frac{a1.(q^{n} - 1)}{(q-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a1.(q^{n} - 1)}{(q-1)}[/tex3]

Sn = [tex3]\frac{(1,01).(1,01^{360} - 1)}{(0,01)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(1,01).(1,01^{360} - 1)}{(0,01)}[/tex3]

Sn = [tex3]\frac{(1,01^{361} - 1,01)}{(0,01)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(1,01^{361} - 1,01)}{(0,01)}[/tex3]

Sn = 3499

Voltando à equação toda (**) :
[tex3]M = c [(1,01)^{360} +(1,01)^{359} +(1,01)^{358}...+(1,01)^{2}+(1,01)^{1}] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = c [(1,01)^{360} +(1,01)^{359} +(1,01)^{358}...+(1,01)^{2}+(1,01)^{1}] [/tex3]

[tex3]M = c [3499] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = c [3499] [/tex3]

O montante desejado é 1.000.000, então:
[tex3]1.000.000 = c [3499] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1.000.000 = c [3499] [/tex3]

[tex3]c= 285,79 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c= 285,79 [/tex3]

[Liliana]

Entendi!!!
Muito obrigada!!

[KDO]

Olá amigos,

Acredito que seja mais simples dessa forma.

[liastudies]

Boa tarde, tudo bem? Ainda não sei se entendi porque a fórmula dos juros compostos não é válida nessa questão. Só valeria se o depósito fosse feito apenas uma vez?