Pré-Vestibular ⇒ UFES | Análise Combinatória Tópico resolvido
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estudanteg 
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Out 2017
03
11:43
UFES | Análise Combinatória
Quantos são os números naturais de cinco algarismos, na base 10, que têm todos os algarismos distintos e nenhum deles igual a 8, 9 ou 0? Quantos deles são pares?
-
joaopcarv 
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Out 2017
03
12:02
Re: UFES | Análise Combinatória
Cada ordem forma um número diferente, e isso nos interessa. Por isso, utiliziremos o arranjo.
Primeiro, do conjunto dos algarismos [tex3][0,1,2...,9][/tex3] ([tex3]10[/tex3] algarismos no total) tiramos [tex3]3[/tex3] : [tex3]8,9[/tex3] e [tex3]0[/tex3] (restrição do exercício). Sobram [tex3](10 \ - \ 3) \ = \ 7[/tex3] algarismos.
Temos [tex3]n \ = \ 7[/tex3] algarismos para colocarmos em [tex3]p \ = \ 5[/tex3] espaços [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(7,5)} \ \rightarrow \ \frac{7!}{(7 \ - \ 5)!} \ \rightarrow \ \frac{7!}{2!} \ = \ \boxed{\boxed{2520 \ números \ diferentes}} [/tex3]
Para a restrição de números pares, vamos fixar na última casa um dos algarismos [tex3][2,4,6][/tex3] (lembrando que o [tex3]0[/tex3] e o [tex3]8[/tex3] não entram por ser parte da outra restrição).
Em seguida, vamos arranjar os [tex3]6[/tex3] números restantes nas [tex3]4[/tex3] casas restantes [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\underbrace{(A_{(6,4)})}_{arranjo \ sem \ restrição} \ \cdot \ \underbrace{3}_{dígitos \ possíveis \ do \ conjunto \ que \ tornam \ o \ número \ par} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{6!}{(6 \ - \ 4)! \ } \ \cdot \ 3 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{6! \ \cdot \ 3}{\cancelto{2}{2!}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]720 \ \cdot \ \frac{3}{2} \ = \ \boxed{\boxed{1080 \ números \ pares \ possíveis}}[/tex3]
Primeiro, do conjunto dos algarismos [tex3][0,1,2...,9][/tex3] ([tex3]10[/tex3] algarismos no total) tiramos [tex3]3[/tex3] : [tex3]8,9[/tex3] e [tex3]0[/tex3] (restrição do exercício). Sobram [tex3](10 \ - \ 3) \ = \ 7[/tex3] algarismos.
Temos [tex3]n \ = \ 7[/tex3] algarismos para colocarmos em [tex3]p \ = \ 5[/tex3] espaços [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(7,5)} \ \rightarrow \ \frac{7!}{(7 \ - \ 5)!} \ \rightarrow \ \frac{7!}{2!} \ = \ \boxed{\boxed{2520 \ números \ diferentes}} [/tex3]
Para a restrição de números pares, vamos fixar na última casa um dos algarismos [tex3][2,4,6][/tex3] (lembrando que o [tex3]0[/tex3] e o [tex3]8[/tex3] não entram por ser parte da outra restrição).
Em seguida, vamos arranjar os [tex3]6[/tex3] números restantes nas [tex3]4[/tex3] casas restantes [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\underbrace{(A_{(6,4)})}_{arranjo \ sem \ restrição} \ \cdot \ \underbrace{3}_{dígitos \ possíveis \ do \ conjunto \ que \ tornam \ o \ número \ par} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{6!}{(6 \ - \ 4)! \ } \ \cdot \ 3 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{6! \ \cdot \ 3}{\cancelto{2}{2!}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]720 \ \cdot \ \frac{3}{2} \ = \ \boxed{\boxed{1080 \ números \ pares \ possíveis}}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Ter 03 Out, 2017 12:04). Total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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paulo testoni 
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Out 2017
03
13:32
Re: UFES | Análise Combinatória
Hola.
Tirando os número: 0, 8 e 9 fora sobram 7 números. Desses 7 números 3 são pares (2, 4, 6)
Temos 5 celas a saber:
__ __ __ __ __
na última celas colocamos os 3 números pares, assim:
__ __ __ __ _3_
na primeira cela colocamos todos os 7 números menos 1 que são aqueles da última cela, fica: 7 - 1 = 6, logo:
_7-1_ _6-1_ _5-1_ _4-1_ _3_
_6_ _5_ _4_ _3_ _3_, pelo Principio Multiplicativo, fica:
[tex3]6*5*4*3*3 = 1080[/tex3]
Tirando os número: 0, 8 e 9 fora sobram 7 números. Desses 7 números 3 são pares (2, 4, 6)
Temos 5 celas a saber:
__ __ __ __ __
na última celas colocamos os 3 números pares, assim:
__ __ __ __ _3_
na primeira cela colocamos todos os 7 números menos 1 que são aqueles da última cela, fica: 7 - 1 = 6, logo:
_7-1_ _6-1_ _5-1_ _4-1_ _3_
_6_ _5_ _4_ _3_ _3_, pelo Principio Multiplicativo, fica:
[tex3]6*5*4*3*3 = 1080[/tex3]
Paulo Testoni
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