Pré-Vestibular

Um cubo maciço é cortado por um plano segundo as linhas tracejadas, como mostra a figura a seguir:
Podemos afirmar que sua superfície externa sofreu uma redução de cerca de:
raiz (\sqrt) 3 = 1,73

a) 7%
b)11%
c)15%
d)20%
e)23%

Resposta

letra b

Olá,

Vamos dizer que a aresta do cubo vale [tex3]a[/tex3] , sua superfície inicial é:
[tex3]S_{t}=a^{2}*6[/tex3]

Repare que foi tirado 3 meias faces, ou uma face e meia ([tex3]\frac{3}{2}a^{2}[/tex3] ), em seguida somamos a superfície que foi gerada ao retirar a pirâmide de base triângulo equilátero do cubo. A área do triângulo equilátero de lado [tex3]a\sqrt{2}[/tex3] vale:
[tex3]S_{\Delta } = a\sqrt{2 }*a\sqrt{2 }*sin60^{\circ}*\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]S_{\Delta } = a^{2}*\not{2}*\frac{\sqrt{3}}{\not{2}}*\frac{1}{2}\rightarrow S_{\Delta } =\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Logo a superfície final será:
[tex3]S_{f}=S_{t}-\frac{3}{2}a^{2}+S_{\Delta}[/tex3]
[tex3]S_{f}=a^{2}*6-\frac{3}{2}a^{2}+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]S_{f}=6a^{2}-1,5a^{2}+\frac{1,73a^{2}}{2}\rightarrow \boxed{S_{f}=5,365a^{2}}[/tex3]

Para calcular a porcentagem da superfície final sobre a superfície total:
[tex3]x=\frac{S_{f}}{S_{t}}\rightarrow x=\frac{5,365\not{a^{2}}}{6\not{a^{2}}}\cong \boxed{89\%}[/tex3]

Logo, a porcentagem perdida foi de [tex3]\boxed{11\%}[/tex3]
Qualquer dúvida só perguntar.

O cubo é composto por [tex3]6[/tex3] quadrados idênticos. Vamos chamar os lados desses quadrados de [tex3]l[/tex3] .

A área da superfície total desse cubo é [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(s)} \ = \ 6 \ \cdot \ l^2[/tex3]

Veja que o corte apresentado retirou do cubo uma porção equivalente a uma pirâmide triangular de lado [tex3]l[/tex3] .

O recorte dessa pirâmide tirou uma "quina" do cubo. Veja que a pirâmide tira [tex3]3[/tex3] triângulos retângulos da superfície do cubo.

Esses três triângulos retirados são isósceles, retângulos e iguais de lado [tex3]l[/tex3] . Ou seja, a área total retirada é [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(ret)} \ = \ 3 \ \cdot \ \frac{l^2}{2}[/tex3]

Só que veja que o sólido resultante "ganhou" um triângulo na sua superfície. Esse triângulo é equilátero de lado igual à diagonal do cubo.

[tex3]l_{(\Delta eq)} \ = \ l \ \cdot \ \sqrt{2}[/tex3]

A área que o sólido "ganhou" é a área do [tex3]\Delta[/tex3] equilátero de lado [tex3]l_{(\Delta eq)} \ = \ l \ \cdot \ \sqrt{2}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(ganha)} \ = \ \frac{\cancelto{2 \ \cdot \ l^2}{l_{(\Delta eq)^2}} \ \cdot \ \cancelto{\approx \ 1,73}{\sqrt{3}}}{4}[/tex3]

[tex3]A_{(ganha)} \ = \ \frac{2 \ \cdot \ 1,73 \ \cdot \ l^2}{4}[/tex3]

[tex3]A_{(ganha)} \ = \ \frac{1,73 \ \cdot \ l^2}{2}[/tex3]

A área da superfície do sólido resultante é [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(res)} \ = \ A_{(s)} \ + \ A_{(ganha)} \ - \ A_{(ret)}[/tex3]

[tex3]A_{(res)} \ = \ 6 \ \cdot \ l^2 \ + \ \frac{1,73 \ \cdot \ l^2}{2} \ - \ \cdot \ \frac{3 \ \cdot \ l^2}{2}[/tex3]

[tex3]A_{(res)} \ = \ \frac{l^2 \ \cdot \ (12 \ + \ 1,73 \ - \ 3)}{2}[/tex3]

[tex3]A_{(res)} \ = \ \frac{l^2 \ \cdot \ 10,73}{2}[/tex3]

Vamos fazer a razão entre a área resultante e a área total [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{A_{(res)}}{A_{(s)}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{\cancel{l^2} \ \cdot \ 10,73}{2}}{6 \ \cdot \ \cancel{l^2}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{10,73}{12} \ \approx 0,89 \ \rightarrow \ 89\%[/tex3]

Logo, a redução ficou em [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3](100\% \ - \ 89\%) \ \Rightarrow \ \boxed{\boxed{11\%}}[/tex3]

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