Pré-Vestibular(POLI) Equação Trigonométrica

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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FelipeMP
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Set 2017 30 18:05

(POLI) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por FelipeMP »

(POLI) - Sendo [tex3]x\neq n\cdot \pi [/tex3] , determinar os valores do parâmetro k para que a equação [tex3]sen2x=k\cdot tgx[/tex3] admita solução.
Resposta

[tex3]0 < k<2[/tex3]
Fiz da seguinte forma:
[tex3]2\cdot senx\cdot cosx=k\cdot \frac{senx}{cosx}[/tex3]
[tex3]2\cdot cos²x=k[/tex3]
[tex3]cosx=\sqrt{\frac{k}{2}}[/tex3]
[tex3]-1<\sqrt{\frac{k}{2}}<1[/tex3]

E agora não sei como prosseguir. Errei algo?

Grato desde já.



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IgorAM
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Set 2017 30 19:11

Re: (POLI) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por IgorAM »

Você chegou em

[tex3]cos^2(x)=\frac{k}{2}[/tex3]

como [tex3]0< cos^2(x)\leq 1[/tex3] , não pode ser igual a 0 porque na equação cos(x) está dividindo sen(x)

então:
[tex3]0< \frac{k}{2}\leq 1[/tex3]
[tex3]0< k \leq 2[/tex3] , o motivo de na resposta ser só menor que 2 eu não sei.



Existirmos: a que será que se destina?

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FelipeMP
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Set 2017 30 19:47

Re: (POLI) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por FelipeMP »

IgorAM, amigo, k é só menor que 2 devido a uma condição que o exercício fornece. Sendo ela
FelipeMP escreveu:
Sáb 30 Set, 2017 18:05
[tex3]x\neq n\cdot \pi [/tex3]
:)


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IgorAM
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Set 2017 30 20:39

Re: (POLI) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por IgorAM »

Não entendi a relação da condição com o fato de não poder ser igual a 2.


Existirmos: a que será que se destina?

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joaopcarv
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Set 2017 30 20:57

Re: (POLI) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por joaopcarv »

Como o exercício descarta [tex3]n \ . \ \pi[/tex3] , não precisamos fazer a análise de [tex3]x \ \neq \ \frac{\pi}{2} \ + \ k \ . \pi[/tex3] ...

[tex3]sen(2 \ . \ x) \ = \ K \ . \ tg(x)[/tex3]

[tex3]2 \ . \ sen(x) \ . \ cos(x) \ = \ K \ . \ \frac{sen(x)}{cos(x)}[/tex3]

[tex3]2 \ . \ sen(x) \ . \ cos(x) \ - \ K \ . \ \frac{sen(x)}{cos(x)} \ = \ 0[/tex3]

[tex3]sen(x) \ . \ (2 \ . \ cos(x) \ - \ \frac{K}{cos(x)}) \ = \ 0[/tex3]

Mas [tex3]sen(x) \ \neq \ 0[/tex3] , porque [tex3]x \ \neq \ n \ . \ \pi[/tex3] (ou seja, não conta [tex3]0 \ rad[/tex3] , [tex3]2 \ . \ \pi \
rad[/tex3] , [tex3]20 \ . \ \pi \ rad[/tex3] , etc...)

[tex3]2 \ . \ cos(x) \ - \ \frac{K}{cos(x)} \ = \ 0[/tex3]

[tex3]2 \ . \ cos(x)^2 \ = \ K[/tex3]

[tex3]cos(x)^2 \ = \ \frac{K}{2}[/tex3]

Mas como [tex3]x \ \neq \ n \ . \ \pi[/tex3] , [tex3]cos(x)^2 \ \neq \ 0[/tex3] e [tex3]cos(x)^2 \ \neq \ 1[/tex3] , ou seja, a fração não pode dar nem [tex3]0[/tex3] , nem [tex3]1[/tex3] e nem um valor menor que [tex3]0[/tex3] ou maior que [tex3]1[/tex3] (casos absurdos).

Ou seja, [tex3]0 \ < \ cos(x)^2 \ < \ 1[/tex3] , pois [tex3]x \ \neq \ n \ . \ \pi[/tex3]

[tex3]0 \ < \ \frac{K}{2} \ \rightarrow \ K \ > \ 0[/tex3]

[tex3]\frac{K}{2} \ < \ 1 \rightarrow \ K \ < \ 2[/tex3]

Por isso, [tex3]0 \ < \ K \ < 2[/tex3]

Agora, não sei bem se esta é a análise perfeita :lol:

Última edição: joaopcarv (Sáb 30 Set, 2017 20:58). Total de 1 vez.


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