Pré-Vestibular(FUVEST 2004) Análise Combinatória Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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SweetCake
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(FUVEST 2004) Análise Combinatória

Mensagem não lida por SweetCake »

(Fuvest-2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?

a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108
Resposta

Resposta: 36
Olá, tentei resolver esse exercício, porém não consegui. Tentei uma resolução, que evidentemente está errada e gostaria, se possível, entender o que errei.
Resolvi desta forma:

Primeiro temos 3 trabalhos que serão realizados pelas empresas, cada trabalho por uma delas. Dessa forma, temos que para o primeiro trabalho temos 3 opções de empresas. Já no segundo, a que realizou o primeiro não pode participar desse, então sobram somente 2 opcões de empresas. Por fim, sobrou o último trabalho, que só pode ser realizado pela empresa que ainda não foi escolhida. Portanto, temos: 3.2.1 = 6 opções para esses 3 trabalhos.

Depois, tempos o quatro e último trabalho, no qual há 3 opcões de empresas a serem escolhidas.

No fim: 6.3 = 18 opcões totais.

Última edição: MateusQqMD (Seg 21 Set, 2020 11:22). Total de 1 vez.
Razão: colocar spoiler na resposta.



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rippertoru
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Set 2017 28 19:52

Re: (FUVEST 2004) Análise Combinatória

Mensagem não lida por rippertoru »

Olá.

Se todas as empresas devem ser contratadas então o número máximo de trabalhos executados por uma empresa é dois, e o mínimo é 1.

Para o caso em que a empresa [tex3]E_1[/tex3] , executa dois trabalhos:
Ela pode executar 2 trabalhos dentre 4, então
[tex3]C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(2!)} = 6\ possibilidades[/tex3]
As duas empresas restantes ([tex3]E_2[/tex3] e [tex3]E_3[/tex3] ), podem executar apenas 1 trabalho (pois a empresa [tex3]E_1[/tex3] já executa 2 trabalhos), sendo assim há 2! = 2 possibilidades.

O número de possibilidades APENAS para o caso em que a empresa [tex3]E_1[/tex3] , executa 2 trabalhos é: [tex3]6\times 2 = 12[/tex3] .
O mesmo raciocínio é repetido para as empresas [tex3]E_2[/tex3] e [tex3]E_3[/tex3] . Assim o número de possibilidade total é 12 + 12 + 12 = 36.

Última edição: rippertoru (Qui 28 Set, 2017 19:54). Total de 1 vez.


Sem sacrifício não há vitória.

Superaks
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Re: (FUVEST 2004) Análise Combinatória

Mensagem não lida por Superaks »

Seu erro foi não considerar as permutações das duas empresas que se repetem.

Chamaremos os trabalhos de 1, 2, 3 e 4, e as empresas de A, B, C e D

O que você fez foi considerar a seguinte situação:

Vamos usar uma "tabela" para facilitar o entendimento


1 2 3 4
A B C X

Onde X é A, B ou C

O que você fez foi fixar X e permutou as outras empresas, deveria ter contado a situação onde elas permutam

Uma resolução:

1 2 3 4
A B C A

Vamos considerar o caso onde a empresa que repete 2 vezes é A. O número de maneiras que eu posso ordenar aqueles empresas é 4!, mas como tem duas empresas iguais, devemos desconsiderar a permutação entre elas

Portanto, 4!/2! = 12

Mas são 3 opções para X A, B ou C. Então multiplique por 3

12 . 3 = 36

Portanto, temos 36 maneiras distintas para para atribuir os 4 trabalhos as 3 empresas




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