a)[tex3]\sqrt{2}[/tex3] /3
b)[tex3]\sqrt{6}[/tex3] /3
c)[tex3]\sqrt{3}[/tex3] /2
d)1
Gabarito:
Resposta
B
Pré-Vestibular ⇒ Razão do Volume de dois Prismas - Uerj Tópico resolvido
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Set 2017
28
17:25
Razão do Volume de dois Prismas - Uerj
42.497-(Uerj) Dois prismas regulares, P1 e P2, o primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm a mesma área da base e a mesma área lateral. A razão entre o volume de P1 e o de P2, nessa ordem, equivale a:
a)[tex3]\sqrt{2}[/tex3] /3
b)[tex3]\sqrt{6}[/tex3] /3
c)[tex3]\sqrt{3}[/tex3] /2
d)1
Gabarito:
B
a)[tex3]\sqrt{2}[/tex3] /3
b)[tex3]\sqrt{6}[/tex3] /3
c)[tex3]\sqrt{3}[/tex3] /2
d)1
Gabarito:
B
-
joaopcarv 
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Set 2017
28
18:08
Re: Razão do Volume de dois Prismas - Uerj
Prismas regulares [tex3]\rightarrow[/tex3]
bases regulares !
A superfície lateral de qualquer prisma é composta por retângulos.
Para o [tex3]P_1 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3] Área da base : triângulo equilátero de lado [tex3]l_1[/tex3] .
[tex3]Ab_{(P_1)} \ = \ (Área \ do \ triângulo \ equilátero \ de \ lado \ l_1)[/tex3]
[tex3]Ab_{(P_1)} \ = \ \frac{l_1^2 \ . \ \sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3] A superfície lateral desse prisma é composta por [tex3]3[/tex3] retângulos de dimensões [tex3]H_1[/tex3] (altura de [tex3]P_1[/tex3] ) e [tex3]l_1[/tex3] .
[tex3]A_{L_{(P_1)}} \ = \ 3 \ . \ H_1 \ . \ l_1[/tex3] .
Para o [tex3]P_2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3] Área da base : hexágono regular de lado [tex3]l_2[/tex3] , que na verdade é a junção de [tex3]6[/tex3] triângulos equiláteros de lado [tex3]l_2[/tex3] :
[tex3]Ab_{(P_2)} \ = \ (6 \ . \ Área \ do \ triângulo \ equilátero \ de \ lado \ l_2)[/tex3]
[tex3]Ab_{(P_2)} \ = \ \frac{6 \ . \ l_2^2 \ . \ \sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]Ab_{(P_2)} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3] A superfície lateral desse prisma é composta por [tex3]6[/tex3] retângulos de dimensões [tex3]H_2[/tex3] (altura de [tex3]P_2[/tex3] ) e [tex3]l_2[/tex3] .
[tex3]A_{L_{(P_2)}} \ = \ 6 \ . \ H_2 \ . \ l_2[/tex3] .
Como dito, [tex3]Ab_{(P_1)} \ = \ Ab_{(P_2)}[/tex3]
[tex3]\frac{l_1^2 \ . \ \cancel{\sqrt{3}}}{4} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \cancel{\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]l_1^2 \ = \ \frac{4 \ . \ 3 \ . \ l_2^2}{2}[/tex3]
[tex3]l_1^2 \ = \ 6 \ . \ l_2^2[/tex3]
[tex3]\boxed{l_1\ = \ \sqrt{6} \ . \ l_2}[/tex3]
Como dito, [tex3]A_{L_{(P_1)}} \ = \ A_{L_{(P_2)}}[/tex3]
[tex3]3 \ . \ H_1 \ . \cancelto{\sqrt{6} \ . \ l_2}{ l_1} \ = \ 6 \ . \ H_2 \ . \ l_2[/tex3]
[tex3]H_1 \ . \ \sqrt{6} \ . \ \cancel{l_2} \ = 2 \ . \ H_2 \ . \ \cancel{l_2}[/tex3]
[tex3]\boxed{H_1 \ = \ \frac{2 \ . \ H_2}{\sqrt{6}}}[/tex3]
Volume de [tex3]P_1[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]V_{(P_1)} \ = \ Ab_{(P_1)} \ . \ H_1[/tex3]
[tex3]V_{(P_1)} \ = \ \frac{\cancelto{6 \ . \ l_2^2}{l_1^2} \ . \ \sqrt{3}}{4} \ . \ \cancelto{\frac{2 \ . \ H_2}{\sqrt{6}}}{H_1}[/tex3]
[tex3]V_{(P_1)} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{2}} \ . \ \frac{\cancel{2} \ . \ H_2}{\cancel{\sqrt{3}} \ . \ \sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]V_{(P_1)} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ H_ 2}{\sqrt{2}}[/tex3]
Volume de [tex3]P_2[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]V_{(P_2)} \ = \ Ab_{(P_2)} \ . \ H_2[/tex3]
[tex3]V_{(P_2)} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \sqrt{3}}{2} \ . \ H_2[/tex3]
[tex3]\frac{V_{(P_1)}}{V_{(P_2)}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ H_ 2}{\sqrt{2}}}{\frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \sqrt{3}}{2} \ . \ H_2}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{3} \ . \ \cancel{l_2^2} \ . \ \cancel{H_ 2}}{\sqrt{2}} \ . \ \frac{2}{\cancel{3} \ . \ \cancel{l_2^2} \ . \ \sqrt{3} \ . \ \cancel{H_2}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{\sqrt{2}} \ . \ \sqrt{2}}{\cancel{\sqrt{2}} \ . \ \sqrt{3}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{2} \ . \ \sqrt{3}}{\sqrt{3} \ . \ \sqrt{3}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{\sqrt{6}}{3}}}[/tex3]
A superfície lateral de qualquer prisma é composta por retângulos.
Para o [tex3]P_1 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3] Área da base : triângulo equilátero de lado [tex3]l_1[/tex3] .
[tex3]Ab_{(P_1)} \ = \ (Área \ do \ triângulo \ equilátero \ de \ lado \ l_1)[/tex3]
[tex3]Ab_{(P_1)} \ = \ \frac{l_1^2 \ . \ \sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3] A superfície lateral desse prisma é composta por [tex3]3[/tex3] retângulos de dimensões [tex3]H_1[/tex3] (altura de [tex3]P_1[/tex3] ) e [tex3]l_1[/tex3] .
[tex3]A_{L_{(P_1)}} \ = \ 3 \ . \ H_1 \ . \ l_1[/tex3] .
Para o [tex3]P_2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3] Área da base : hexágono regular de lado [tex3]l_2[/tex3] , que na verdade é a junção de [tex3]6[/tex3] triângulos equiláteros de lado [tex3]l_2[/tex3] :
[tex3]Ab_{(P_2)} \ = \ (6 \ . \ Área \ do \ triângulo \ equilátero \ de \ lado \ l_2)[/tex3]
[tex3]Ab_{(P_2)} \ = \ \frac{6 \ . \ l_2^2 \ . \ \sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]Ab_{(P_2)} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow[/tex3] A superfície lateral desse prisma é composta por [tex3]6[/tex3] retângulos de dimensões [tex3]H_2[/tex3] (altura de [tex3]P_2[/tex3] ) e [tex3]l_2[/tex3] .
[tex3]A_{L_{(P_2)}} \ = \ 6 \ . \ H_2 \ . \ l_2[/tex3] .
Como dito, [tex3]Ab_{(P_1)} \ = \ Ab_{(P_2)}[/tex3]
[tex3]\frac{l_1^2 \ . \ \cancel{\sqrt{3}}}{4} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \cancel{\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
[tex3]l_1^2 \ = \ \frac{4 \ . \ 3 \ . \ l_2^2}{2}[/tex3]
[tex3]l_1^2 \ = \ 6 \ . \ l_2^2[/tex3]
[tex3]\boxed{l_1\ = \ \sqrt{6} \ . \ l_2}[/tex3]
Como dito, [tex3]A_{L_{(P_1)}} \ = \ A_{L_{(P_2)}}[/tex3]
[tex3]3 \ . \ H_1 \ . \cancelto{\sqrt{6} \ . \ l_2}{ l_1} \ = \ 6 \ . \ H_2 \ . \ l_2[/tex3]
[tex3]H_1 \ . \ \sqrt{6} \ . \ \cancel{l_2} \ = 2 \ . \ H_2 \ . \ \cancel{l_2}[/tex3]
[tex3]\boxed{H_1 \ = \ \frac{2 \ . \ H_2}{\sqrt{6}}}[/tex3]
Volume de [tex3]P_1[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]V_{(P_1)} \ = \ Ab_{(P_1)} \ . \ H_1[/tex3]
[tex3]V_{(P_1)} \ = \ \frac{\cancelto{6 \ . \ l_2^2}{l_1^2} \ . \ \sqrt{3}}{4} \ . \ \cancelto{\frac{2 \ . \ H_2}{\sqrt{6}}}{H_1}[/tex3]
[tex3]V_{(P_1)} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{2}} \ . \ \frac{\cancel{2} \ . \ H_2}{\cancel{\sqrt{3}} \ . \ \sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]V_{(P_1)} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ H_ 2}{\sqrt{2}}[/tex3]
Volume de [tex3]P_2[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]V_{(P_2)} \ = \ Ab_{(P_2)} \ . \ H_2[/tex3]
[tex3]V_{(P_2)} \ = \ \frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \sqrt{3}}{2} \ . \ H_2[/tex3]
[tex3]\frac{V_{(P_1)}}{V_{(P_2)}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ H_ 2}{\sqrt{2}}}{\frac{3 \ . \ l_2^2 \ . \ \sqrt{3}}{2} \ . \ H_2}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{3} \ . \ \cancel{l_2^2} \ . \ \cancel{H_ 2}}{\sqrt{2}} \ . \ \frac{2}{\cancel{3} \ . \ \cancel{l_2^2} \ . \ \sqrt{3} \ . \ \cancel{H_2}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{\sqrt{2}} \ . \ \sqrt{2}}{\cancel{\sqrt{2}} \ . \ \sqrt{3}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{2} \ . \ \sqrt{3}}{\sqrt{3} \ . \ \sqrt{3}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{\sqrt{6}}{3}}}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Qui 28 Set, 2017 18:09). Total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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