Pré-Vestibular ⇒ (Unesp 2010) Números Complexos Tópico resolvido

[Liliana]

As soluções da equação [tex3]z^3=i[/tex3]

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[tex3]z^3=i[/tex3]

, onde [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

é um número complexo e [tex3]i^2=-1[/tex3]

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[tex3]i^2=-1[/tex3]

, são

Resposta

---

[tex3]z= +-\frac{\sqrt 3}{2} + \frac{i}{2} ou z= -i[/tex3]

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[tex3]z= +-\frac{\sqrt 3}{2} + \frac{i}{2} ou z= -i[/tex3]

[undefinied3]

Aplicação direta do segundo teorema de De Moivre.
[tex3]z^3=cis(0) \rightarrow [/tex3]

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[tex3]z^3=cis(0) \rightarrow [/tex3]

[tex3]\begin{cases}
z_1=cis(0) \\
z_2=cis(0+\frac{2\pi}{3}) \\
z_3=cis(0+\frac{4\pi}{3})
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
z_1=cis(0) \\
z_2=cis(0+\frac{2\pi}{3}) \\
z_3=cis(0+\frac{4\pi}{3})
\end{cases}[/tex3]

Onde [tex3]cis(\alpha)=cos(\alpha)+i.sen(\alpha)[/tex3]

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[tex3]cis(\alpha)=cos(\alpha)+i.sen(\alpha)[/tex3]

. Desenvolvendo as expressões, é fácil ver que dá o gabarito.

Ou, o caminho mais longo mas talvez menos teórico:
[tex3]z^3=1 \rightarrow z^3-1=0 \rightarrow (z-1)(z^2+z+1)=0[/tex3]

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[tex3]z^3=1 \rightarrow z^3-1=0 \rightarrow (z-1)(z^2+z+1)=0[/tex3]

Daí tem-se [tex3]z_1=1[/tex3]

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[tex3]z_1=1[/tex3]

e [tex3]z_2[/tex3]

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[tex3]z_2[/tex3]

e [tex3]z_3[/tex3]

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[tex3]z_3[/tex3]

raízes de [tex3]z^2+z+1=0[/tex3]

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[tex3]z^2+z+1=0[/tex3]

.

[Liliana]

Mas como você achou esses ângulos no teorema de De Moivre?

[undefinied3]

Ao tirar a raiz de um complexo você divide o argumento pelo índice da raiz e soma 2kpi/n, sendo n o índice da raiz, e k variando de 0 até n-1, pois a raiz n-ésima fornece n resultados possíveis. No caso, arg(z)=0, então ficou 0+2kpi/3, com k=0,1,2
Além disso, o módulo também fica elevado a 1/n, mas nesse caso o módulo era 1.

[Liliana]

undefinied3 agora que eu percebi que editaram minha pergunta, pra colocar em tex, mas acabaram editando errado
O correto é z³=i, e não z³=1

[Andre13000]

Você também pode fazer o seguinte:

[tex3]z^3=i\\
z^3-i=0[/tex3]

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[tex3]z^3=i\\
z^3-i=0[/tex3]

Sabemos que uma das raízes é -i, e se faz a divisão por Briot Ruffini:

[tex3](z+i)(z^2-iz-1)=0\\
z^2-iz-1=0\\
4z^2-4iz-1=3\\
2z-i=\sqrt{3}\\
z=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}
[/tex3]

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[tex3](z+i)(z^2-iz-1)=0\\
z^2-iz-1=0\\
4z^2-4iz-1=3\\
2z-i=\sqrt{3}\\
z=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}
[/tex3]

[Liliana]

Andre agradeço imensamente sua disponibilidade em me ajudar, mas Briot Ruffini é bem complicado pra mim, e radiciação também é uma parte que me aperta... Seria mais fácil eu entender usando ângulos, acredito eu...
Espero que não me leve a mal, por favor!!

[Andre13000]

O ãngulo que você tem que usar é [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

[undefinied3]

Não precisa exatamente usar Briot-Ruffini porque a diferença de cubos é um produto notável que você tem que conhecer pra ir pro vestibular. Se os cubos são complexos ou não, isso pouco importa, basta aplicar [tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]

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[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]

.
Mas como o André disse, o ângulo é [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

, pois o que temos inicialmente é [tex3]z^3=i \rightarrow z^3=0+i.1 \rightarrow z^3=cos(\frac{\pi}{2})+i.sen(\frac{\pi}{2})=cis(\frac{\pi}{2})[/tex3]

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[tex3]z^3=i \rightarrow z^3=0+i.1 \rightarrow z^3=cos(\frac{\pi}{2})+i.sen(\frac{\pi}{2})=cis(\frac{\pi}{2})[/tex3]

, então fica:
[tex3]\begin{cases}
z_1=cis(\frac{\pi}{6}) \\
z_2=cis(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}) \\
z_3=cis(\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
z_1=cis(\frac{\pi}{6}) \\
z_2=cis(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}) \\
z_3=cis(\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})
\end{cases}[/tex3]