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a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{33}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{17}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{35}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{73}{8}[/tex3]
Resposta
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 2017) Geometria Plana Tópico resolvido
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lincoln1000
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Set 2017
13
14:24
(FUVEST 2017) Geometria Plana
O retângulo [tex3]ABCD[/tex3]
, representado na figura, tem lados de comprimento [tex3]AB=3[/tex3]
e [tex3]BC=4[/tex3]
. O ponto [tex3]P[/tex3]
pertence ao lado [tex3]\overline{BC}[/tex3]
e [tex3]\overline{BP}=1[/tex3]
. Os pontos [tex3]R[/tex3]
, [tex3]S[/tex3]
e [tex3]T[/tex3]
pertencem aos lados [tex3]\overline{AB}[/tex3]
, [tex3]\overline{CD}[/tex3]
e [tex3]\overline{AD}[/tex3]
, respectivamente. O segmento [tex3]\overline{RS}[/tex3]
é paralelo a [tex3]\overline{AD}[/tex3]
e intercepta [tex3]\overline{DP}[/tex3]
no ponto [tex3]Q[/tex3]
. O segmento [tex3]\overline{TQ}[/tex3]
é paralelo a [tex3]\overline{AB}[/tex3]
Sendo [tex3]x[/tex3]
o comprimento de [tex3]\overline{AR}[/tex3]
, o maior valor da soma das áreas do retângulo [tex3]ARQT[/tex3]
, do triângulo [tex3]CQP[/tex3]
e do triângulo [tex3]DQS[/tex3]
, para [tex3]x[/tex3]
variando no intervalo aberto [tex3]]0,3[[/tex3]
, é
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{33}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{17}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{35}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{73}{8}[/tex3]
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{33}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{17}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{35}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{73}{8}[/tex3]
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
Editado pela última vez por lincoln1000 em 13 Set 2017, 14:27, em um total de 2 vezes.
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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Set 2017
13
16:29
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Eu queria poder enviar uns anexos para melhor explicação... mas agora não posso 
Mesmo assim, vou tentar explicar de forma bem descritiva :
[tex3]BC \ = \ BP \ + \ PC \ \rightarrow[/tex3] Sendo : [tex3]BC \ = \ 4[/tex3] e [tex3]BP \ = \ 1[/tex3] :
[tex3]4 \ = 1 \ + \ PC[/tex3]
[tex3]PC \ = \ 3[/tex3]
Agora, observe o [tex3]\Delta CDP[/tex3] . Temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]D \widehat{C} P \ = \ 90 ^\circ \ e \ CD \ = \ PC \ = 3[/tex3] . Logo, é um triângulo retângulo e isósceles.
Por isso : [tex3]D \widehat{C} P \ = \ P \widehat{D} C \ = \ 45 ^\circ[/tex3]
Veja o [tex3]\Delta DQS[/tex3] . Ele tem um ângulo reto e [tex3]Q \widehat{D} S \ = \ 45^\circ[/tex3] .
Então também é um triângulo retângulo e isósceles, com [tex3]DS \ = \ QS \ = x[/tex3] .
Como [tex3]DS \ \perp \ QS \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{DS \ . \ QS}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{x^2}{2}[/tex3]
Para o [tex3]\Delta CQP \ \rightarrow[/tex3]
Veja que a altura relativa a [tex3]CP[/tex3] é igual a [tex3]RB \ = \ (3 \ - \ x)[/tex3] . Para essa área, podemos fazer :
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{CP \ . \ RB}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{3 \ . \ (3 \ - \ x)}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2}[/tex3]
Para o retângulo [tex3]ARQT \ \rightarrow[/tex3]
A base dele é [tex3]AR \ = \ x[/tex3] .
Como a gente já viu (lá no [tex3]\Delta DQS[/tex3] ), [tex3]AR \ = \ DS \ = \ QS \ = \ DT \ = \ x[/tex3] . Logo, a altura [tex3]AT[/tex3] é :
[tex3]AT \ = \ AD \ - \ DT[/tex3]
[tex3]AT \ = \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ AR \ . \ AT[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ x \ . \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ 4 \ . \ x \ - \ x^2[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ + \ A(\Delta CQP) \ + \ A(ARQT)[/tex3] \ = [/tex3]
[tex3]\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2} \ + \ 4 \ . \ x \ - \ x^2 \ \rightarrow[/tex3] Juntando termos semelhantes, chegamos em:
[tex3]-\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ x}{2} \ + \frac{9}{2}[/tex3]
(Concavidade para baixo)
A maior área é no maior [tex3]x[/tex3] . Para isso, usamos [tex3]Xv[/tex3] e [tex3]Yv[/tex3] .
Poderíamos fazer direto por : [tex3]Yv \ = \ \frac{- \Delta}{4 \ . \ a}[/tex3] , só que, pelos valores de [tex3]a, b, c[/tex3] acho melhor calcular [tex3]Xv[/tex3] e substituir.
[tex3]Xv \ = \ \frac{- b}{2 \ . \ a}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{- \ \frac{5}{2}}{\frac{2 \ . \ -1}{2}}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{5}{2} \ \rightarrow[/tex3] Substituindo :
[tex3]-\frac{\frac{5}{2}^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ \frac{5}{2}}{2} \ + \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{-25}{8} \ + \ \frac{25}{4} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8} \ + \ \frac{36}{8} \ =[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{61}{8} \ u^{2}}} \ \rightarrow[/tex3] Maior soma possível dessas áreas!
Mesmo assim, vou tentar explicar de forma bem descritiva :
[tex3]BC \ = \ BP \ + \ PC \ \rightarrow[/tex3] Sendo : [tex3]BC \ = \ 4[/tex3] e [tex3]BP \ = \ 1[/tex3] :
[tex3]4 \ = 1 \ + \ PC[/tex3]
[tex3]PC \ = \ 3[/tex3]
Agora, observe o [tex3]\Delta CDP[/tex3] . Temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]D \widehat{C} P \ = \ 90 ^\circ \ e \ CD \ = \ PC \ = 3[/tex3] . Logo, é um triângulo retângulo e isósceles.
Por isso : [tex3]D \widehat{C} P \ = \ P \widehat{D} C \ = \ 45 ^\circ[/tex3]
Veja o [tex3]\Delta DQS[/tex3] . Ele tem um ângulo reto e [tex3]Q \widehat{D} S \ = \ 45^\circ[/tex3] .
Então também é um triângulo retângulo e isósceles, com [tex3]DS \ = \ QS \ = x[/tex3] .
Como [tex3]DS \ \perp \ QS \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{DS \ . \ QS}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{x^2}{2}[/tex3]
Para o [tex3]\Delta CQP \ \rightarrow[/tex3]
Veja que a altura relativa a [tex3]CP[/tex3] é igual a [tex3]RB \ = \ (3 \ - \ x)[/tex3] . Para essa área, podemos fazer :
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{CP \ . \ RB}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{3 \ . \ (3 \ - \ x)}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2}[/tex3]
Para o retângulo [tex3]ARQT \ \rightarrow[/tex3]
A base dele é [tex3]AR \ = \ x[/tex3] .
Como a gente já viu (lá no [tex3]\Delta DQS[/tex3] ), [tex3]AR \ = \ DS \ = \ QS \ = \ DT \ = \ x[/tex3] . Logo, a altura [tex3]AT[/tex3] é :
[tex3]AT \ = \ AD \ - \ DT[/tex3]
[tex3]AT \ = \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ AR \ . \ AT[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ x \ . \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ 4 \ . \ x \ - \ x^2[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ + \ A(\Delta CQP) \ + \ A(ARQT)[/tex3] \ = [/tex3]
[tex3]\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2} \ + \ 4 \ . \ x \ - \ x^2 \ \rightarrow[/tex3] Juntando termos semelhantes, chegamos em:
[tex3]-\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ x}{2} \ + \frac{9}{2}[/tex3]
(Concavidade para baixo)
A maior área é no maior [tex3]x[/tex3] . Para isso, usamos [tex3]Xv[/tex3] e [tex3]Yv[/tex3] .
Poderíamos fazer direto por : [tex3]Yv \ = \ \frac{- \Delta}{4 \ . \ a}[/tex3] , só que, pelos valores de [tex3]a, b, c[/tex3] acho melhor calcular [tex3]Xv[/tex3] e substituir.
[tex3]Xv \ = \ \frac{- b}{2 \ . \ a}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{- \ \frac{5}{2}}{\frac{2 \ . \ -1}{2}}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{5}{2} \ \rightarrow[/tex3] Substituindo :
[tex3]-\frac{\frac{5}{2}^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ \frac{5}{2}}{2} \ + \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{-25}{8} \ + \ \frac{25}{4} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
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[tex3]\boxed{\boxed{\frac{61}{8} \ u^{2}}} \ \rightarrow[/tex3] Maior soma possível dessas áreas!
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Set 2017
13
16:31
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Agora analisando... acho que daria na mesma ter calculado [tex3]Xv[/tex3]
e [tex3]Yv[/tex3]
(no que diz respeito ao "trabalho" de fazer continhas com essas frações)... kk
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Set 2017
13
16:58
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Hmmm... Então a ideia é colocar todas as áreas em função de [tex3]x[/tex3]
para dai resolver, boa resolução, obrigado!
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Set 2017
13
17:06
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Sempre que falar maior área em geometria (tem uma da Fuvest de analítica que fala disso, por exemplo) e ele der uma variável, eu tento colocar em função dessa variável para assim chegar em um polinômio de segundo grau e ir pelas coordenadas do vértice.
Questòes assim são mais clichês... rsrs
Vc quer USP... quer qual curso?
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Jun 2019
24
13:50
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Não consigo enxergar como a altura relativa a CP é igual a RB, alguém pode dar uma ajuda?
“Evil is evil. Lesser, greater, middling… makes no difference. The degree is arbitrary. The definition’s blurred. If I’m to choose between one evil and another, I’d rather not choose at all."
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