Eu queria poder enviar uns anexos para melhor explicação... mas agora não posso
Mesmo assim, vou tentar explicar de forma bem descritiva :
[tex3]BC \ = \ BP \ + \ PC \ \rightarrow[/tex3]
Sendo : [tex3]BC \ = \ 4[/tex3]
e [tex3]BP \ = \ 1[/tex3]
:
[tex3]4 \ = 1 \ + \ PC[/tex3]
[tex3]PC \ = \ 3[/tex3]
Agora, observe o [tex3]\Delta CDP[/tex3]
. Temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]D \widehat{C} P \ = \ 90 ^\circ \ e \ CD \ = \ PC \ = 3[/tex3]
. Logo, é um triângulo retângulo e isósceles.
Por isso : [tex3]D \widehat{C} P \ = \ P \widehat{D} C \ = \ 45 ^\circ[/tex3]
Veja o [tex3]\Delta DQS[/tex3]
. Ele tem um ângulo reto e [tex3]Q \widehat{D} S \ = \ 45^\circ[/tex3]
.
Então também é um triângulo retângulo e isósceles, com [tex3]DS \ = \ QS \ = x[/tex3]
.
Como [tex3]DS \ \perp \ QS \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{DS \ . \ QS}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{x^2}{2}[/tex3]
Para o [tex3]\Delta CQP \ \rightarrow[/tex3]
Veja que a altura relativa a [tex3]CP[/tex3]
é igual a [tex3]RB \ = \ (3 \ - \ x)[/tex3]
. Para essa área, podemos fazer :
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{CP \ . \ RB}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{3 \ . \ (3 \ - \ x)}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2}[/tex3]
Para o retângulo [tex3]ARQT \ \rightarrow[/tex3]
A base dele é [tex3]AR \ = \ x[/tex3]
.
Como a gente já viu (lá no [tex3]\Delta DQS[/tex3]
), [tex3]AR \ = \ DS \ = \ QS \ = \ DT \ = \ x[/tex3]
. Logo, a altura [tex3]AT[/tex3]
é :
[tex3]AT \ = \ AD \ - \ DT[/tex3]
[tex3]AT \ = \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ AR \ . \ AT[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ x \ . \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ 4 \ . \ x \ - \ x^2[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ + \ A(\Delta CQP) \ + \ A(ARQT)[/tex3]
\ = [/tex3]
[tex3]\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2} \ + \ 4 \ . \ x \ - \ x^2 \ \rightarrow[/tex3]
Juntando termos semelhantes, chegamos em:
[tex3]-\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ x}{2} \ + \frac{9}{2}[/tex3]
(Concavidade para baixo)
A maior área é no maior [tex3]x[/tex3]
. Para isso, usamos [tex3]Xv[/tex3]
e [tex3]Yv[/tex3]
.
Poderíamos fazer direto por : [tex3]Yv \ = \ \frac{- \Delta}{4 \ . \ a}[/tex3]
, só que, pelos valores de [tex3]a, b, c[/tex3]
acho melhor calcular [tex3]Xv[/tex3]
e substituir.
[tex3]Xv \ = \ \frac{- b}{2 \ . \ a}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{- \ \frac{5}{2}}{\frac{2 \ . \ -1}{2}}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{5}{2} \ \rightarrow[/tex3]
Substituindo :
[tex3]-\frac{\frac{5}{2}^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ \frac{5}{2}}{2} \ + \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{-25}{8} \ + \ \frac{25}{4} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8} \ + \ \frac{36}{8} \ =[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{61}{8} \ u^{2}}} \ \rightarrow[/tex3]
Maior soma possível dessas áreas!