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a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{33}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{17}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{35}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{73}{8}[/tex3]
Resposta
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 2017) Geometria Plana Tópico resolvido
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lincoln1000 
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13
14:24
(FUVEST 2017) Geometria Plana
O retângulo [tex3]ABCD[/tex3]
, representado na figura, tem lados de comprimento [tex3]AB=3[/tex3]
e [tex3]BC=4[/tex3]
. O ponto [tex3]P[/tex3]
pertence ao lado [tex3]\overline{BC}[/tex3]
e [tex3]\overline{BP}=1[/tex3]
. Os pontos [tex3]R[/tex3]
, [tex3]S[/tex3]
e [tex3]T[/tex3]
pertencem aos lados [tex3]\overline{AB}[/tex3]
, [tex3]\overline{CD}[/tex3]
e [tex3]\overline{AD}[/tex3]
, respectivamente. O segmento [tex3]\overline{RS}[/tex3]
é paralelo a [tex3]\overline{AD}[/tex3]
e intercepta [tex3]\overline{DP}[/tex3]
no ponto [tex3]Q[/tex3]
. O segmento [tex3]\overline{TQ}[/tex3]
é paralelo a [tex3]\overline{AB}[/tex3]
Sendo [tex3]x[/tex3]
o comprimento de [tex3]\overline{AR}[/tex3]
, o maior valor da soma das áreas do retângulo [tex3]ARQT[/tex3]
, do triângulo [tex3]CQP[/tex3]
e do triângulo [tex3]DQS[/tex3]
, para [tex3]x[/tex3]
variando no intervalo aberto [tex3]]0,3[[/tex3]
, é
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{33}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{17}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{35}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{73}{8}[/tex3]
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{33}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{17}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{35}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{73}{8}[/tex3]
a) [tex3]\frac{61}{8}[/tex3]
Última edição: lincoln1000 (Qua 13 Set, 2017 14:27). Total de 2 vezes.
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joaopcarv 
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13
16:29
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Eu queria poder enviar uns anexos para melhor explicação... mas agora não posso 
Mesmo assim, vou tentar explicar de forma bem descritiva :
[tex3]BC \ = \ BP \ + \ PC \ \rightarrow[/tex3] Sendo : [tex3]BC \ = \ 4[/tex3] e [tex3]BP \ = \ 1[/tex3] :
[tex3]4 \ = 1 \ + \ PC[/tex3]
[tex3]PC \ = \ 3[/tex3]
Agora, observe o [tex3]\Delta CDP[/tex3] . Temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]D \widehat{C} P \ = \ 90 ^\circ \ e \ CD \ = \ PC \ = 3[/tex3] . Logo, é um triângulo retângulo e isósceles.
Por isso : [tex3]D \widehat{C} P \ = \ P \widehat{D} C \ = \ 45 ^\circ[/tex3]
Veja o [tex3]\Delta DQS[/tex3] . Ele tem um ângulo reto e [tex3]Q \widehat{D} S \ = \ 45^\circ[/tex3] .
Então também é um triângulo retângulo e isósceles, com [tex3]DS \ = \ QS \ = x[/tex3] .
Como [tex3]DS \ \perp \ QS \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{DS \ . \ QS}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{x^2}{2}[/tex3]
Para o [tex3]\Delta CQP \ \rightarrow[/tex3]
Veja que a altura relativa a [tex3]CP[/tex3] é igual a [tex3]RB \ = \ (3 \ - \ x)[/tex3] . Para essa área, podemos fazer :
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{CP \ . \ RB}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{3 \ . \ (3 \ - \ x)}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2}[/tex3]
Para o retângulo [tex3]ARQT \ \rightarrow[/tex3]
A base dele é [tex3]AR \ = \ x[/tex3] .
Como a gente já viu (lá no [tex3]\Delta DQS[/tex3] ), [tex3]AR \ = \ DS \ = \ QS \ = \ DT \ = \ x[/tex3] . Logo, a altura [tex3]AT[/tex3] é :
[tex3]AT \ = \ AD \ - \ DT[/tex3]
[tex3]AT \ = \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ AR \ . \ AT[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ x \ . \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ 4 \ . \ x \ - \ x^2[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ + \ A(\Delta CQP) \ + \ A(ARQT)[/tex3] \ = [/tex3]
[tex3]\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2} \ + \ 4 \ . \ x \ - \ x^2 \ \rightarrow[/tex3] Juntando termos semelhantes, chegamos em:
[tex3]-\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ x}{2} \ + \frac{9}{2}[/tex3]
(Concavidade para baixo)
A maior área é no maior [tex3]x[/tex3] . Para isso, usamos [tex3]Xv[/tex3] e [tex3]Yv[/tex3] .
Poderíamos fazer direto por : [tex3]Yv \ = \ \frac{- \Delta}{4 \ . \ a}[/tex3] , só que, pelos valores de [tex3]a, b, c[/tex3] acho melhor calcular [tex3]Xv[/tex3] e substituir.
[tex3]Xv \ = \ \frac{- b}{2 \ . \ a}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{- \ \frac{5}{2}}{\frac{2 \ . \ -1}{2}}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{5}{2} \ \rightarrow[/tex3] Substituindo :
[tex3]-\frac{\frac{5}{2}^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ \frac{5}{2}}{2} \ + \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{-25}{8} \ + \ \frac{25}{4} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8} \ + \ \frac{36}{8} \ =[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{61}{8} \ u^{2}}} \ \rightarrow[/tex3] Maior soma possível dessas áreas!
Mesmo assim, vou tentar explicar de forma bem descritiva :
[tex3]BC \ = \ BP \ + \ PC \ \rightarrow[/tex3] Sendo : [tex3]BC \ = \ 4[/tex3] e [tex3]BP \ = \ 1[/tex3] :
[tex3]4 \ = 1 \ + \ PC[/tex3]
[tex3]PC \ = \ 3[/tex3]
Agora, observe o [tex3]\Delta CDP[/tex3] . Temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]D \widehat{C} P \ = \ 90 ^\circ \ e \ CD \ = \ PC \ = 3[/tex3] . Logo, é um triângulo retângulo e isósceles.
Por isso : [tex3]D \widehat{C} P \ = \ P \widehat{D} C \ = \ 45 ^\circ[/tex3]
Veja o [tex3]\Delta DQS[/tex3] . Ele tem um ângulo reto e [tex3]Q \widehat{D} S \ = \ 45^\circ[/tex3] .
Então também é um triângulo retângulo e isósceles, com [tex3]DS \ = \ QS \ = x[/tex3] .
Como [tex3]DS \ \perp \ QS \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{DS \ . \ QS}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ = \ \frac{x^2}{2}[/tex3]
Para o [tex3]\Delta CQP \ \rightarrow[/tex3]
Veja que a altura relativa a [tex3]CP[/tex3] é igual a [tex3]RB \ = \ (3 \ - \ x)[/tex3] . Para essa área, podemos fazer :
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{CP \ . \ RB}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{3 \ . \ (3 \ - \ x)}{2}[/tex3]
[tex3]A(\Delta CQP) \ = \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2}[/tex3]
Para o retângulo [tex3]ARQT \ \rightarrow[/tex3]
A base dele é [tex3]AR \ = \ x[/tex3] .
Como a gente já viu (lá no [tex3]\Delta DQS[/tex3] ), [tex3]AR \ = \ DS \ = \ QS \ = \ DT \ = \ x[/tex3] . Logo, a altura [tex3]AT[/tex3] é :
[tex3]AT \ = \ AD \ - \ DT[/tex3]
[tex3]AT \ = \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ AR \ . \ AT[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ x \ . \ (4 \ - \ x)[/tex3]
[tex3]A(ARQT) \ = \ 4 \ . \ x \ - \ x^2[/tex3]
[tex3]A(\Delta DQS) \ + \ A(\Delta CQP) \ + \ A(ARQT)[/tex3] \ = [/tex3]
[tex3]\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{9\ - \ 3 \ . \ x}{2} \ + \ 4 \ . \ x \ - \ x^2 \ \rightarrow[/tex3] Juntando termos semelhantes, chegamos em:
[tex3]-\frac{x^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ x}{2} \ + \frac{9}{2}[/tex3]
(Concavidade para baixo)
A maior área é no maior [tex3]x[/tex3] . Para isso, usamos [tex3]Xv[/tex3] e [tex3]Yv[/tex3] .
Poderíamos fazer direto por : [tex3]Yv \ = \ \frac{- \Delta}{4 \ . \ a}[/tex3] , só que, pelos valores de [tex3]a, b, c[/tex3] acho melhor calcular [tex3]Xv[/tex3] e substituir.
[tex3]Xv \ = \ \frac{- b}{2 \ . \ a}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{- \ \frac{5}{2}}{\frac{2 \ . \ -1}{2}}[/tex3]
[tex3]Xv \ = \ \frac{5}{2} \ \rightarrow[/tex3] Substituindo :
[tex3]-\frac{\frac{5}{2}^2}{2} \ + \ \frac{5 \ . \ \frac{5}{2}}{2} \ + \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{-25}{8} \ + \ \frac{25}{4} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
[tex3]\frac{25}{8} \ + \ \frac{9}{2} \ =[/tex3]
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16:31
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Agora analisando... acho que daria na mesma ter calculado [tex3]Xv[/tex3]
e [tex3]Yv[/tex3]
(no que diz respeito ao "trabalho" de fazer continhas com essas frações)... kk
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Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Hmmm... Então a ideia é colocar todas as áreas em função de [tex3]x[/tex3]
para dai resolver, boa resolução, obrigado!
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13
17:06
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Sempre que falar maior área em geometria (tem uma da Fuvest de analítica que fala disso, por exemplo) e ele der uma variável, eu tento colocar em função dessa variável para assim chegar em um polinômio de segundo grau e ir pelas coordenadas do vértice.
Questòes assim são mais clichês... rsrs
Vc quer USP... quer qual curso?
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13:50
Re: (FUVEST 2017) Geometria Plana
Não consigo enxergar como a altura relativa a CP é igual a RB, alguém pode dar uma ajuda?
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