Pré-Vestibular

Liliana

A circunferência de equação (x + 1)² + (y – 1)² = 1 tangencia os eixos coordenados nos pontos A e B. A circunferência l, de centro C, passa pelo ponto B e tangencia o eixo das abscissas no ponto D.

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Se os pontos A, B e C estão alinhados, podemos concluir que a abscissa do centro C é igual a:
a) 2 + √2
b) 1 + √2
c) 2√2 +1
d) 2√ + 1
e) 2√

Olá.

Considere o ponto [tex3]A(x_a, 0)[/tex3]

Substituindo na equação da circunferência
[tex3](x_a+1)^2+ 1 = 1[/tex3]
[tex3]x_a+1=0[/tex3]
[tex3]x_a=-1[/tex3]

Logo A(-1,0)
----------------------------------------------------
O Ponto [tex3]B(0,y_b)[/tex3]
Substitui na equação da circunferência
[tex3]1+(yb-1)^2=1[/tex3]
[tex3]y_b=1[/tex3]

Logo B=(0,1)

A reta r que contém, A, B, C é dado por
r: [tex3]y=x+1[/tex3] (1)

Sendo [tex3]C(x_c,y_c)[/tex3] o centro da circunferência [tex3]\lambda[/tex3]

[tex3]y_c=x_c+1[/tex3] (2) ---> (Substitui o ponto C em (1)).

Sendo λ : [tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2[/tex3] e substituindo o ponto B nessa equação e a relação (2), temos

[tex3]x_c^2 + (1-x_c+1)^2=R^2[/tex3]
[tex3]2x_c^2=R^2[/tex3]
[tex3]R=x_c.\sqrt{2}[/tex3]

Sendo [tex3]D(x_c,0)[/tex3] , substitui na equação da circunferência λ

[tex3]y_c^2=R^2[/tex3]
[tex3]y_c=R[/tex3]

---------------------------
Pela relação (2), temos
[tex3]x_c + 1= R =x_c.\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]x_c+1=x_c.\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]x_c= \frac{1}{\sqrt{2}-1}[/tex3]
[tex3]x_c=\sqrt{2}+1[/tex3]

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