Pré-Vestibular ⇒ (Objetivo Simulado Aberto - 2017 - Adaptado) Probabilidade Tópico resolvido

[POkemonPid]

Num concurso de musa do Carnaval, 7 candidatas fazem testes e, destas, 5 são escolhidas para a próxima fase. Na próxima fase, 3 das 5 são escolhidas para a fase final em que, finalmente, a vencedora é escolhida. Camila, deseja candidatar-se a esse concurso, mas sua mãe lhe avisa que as chances de vencê-lo são menores que 1%.

A afirmação da mãe de Camila está correta? Se não, qual a verdadeira probabilidade?

[jrneliodias]

Olá,

Primeiro, vamos determinar a probabilidade dela ser escolhida entre as 7 candidatas. No evento que ela é escolhida, existe ela e mais 4 candidatas, então calculemos a quantidade de formas que podemos obter 4 pessoas entre 6 restantes:

[tex3]\begin{pmatrix} 6 \\4 \end{pmatrix}=\frac{6!}{4!\,2!}=15[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix} 6 \\4 \end{pmatrix}=\frac{6!}{4!\,2!}=15[/tex3]

Logo, há 15 eventos onde a candidata é escolhida entre as 7.

Calculemos, a quantidade de modos que podemos escolher 5 pessoas entre as 7 possíveis.

[tex3]\begin{pmatrix} 7 \\5 \end{pmatrix}=\frac{7!}{5!\,2!}=21[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix} 7 \\5 \end{pmatrix}=\frac{7!}{5!\,2!}=21[/tex3]

Então, a probabilidade [tex3]P_1[/tex3]

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[tex3]P_1[/tex3]

dela ser escolhida entre as sete será a razão do número de casos favoráveis e os casos possíveis,

[tex3]P_1=\frac{15}{21}\,\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{P_1=\frac{5}{7}}[/tex3]

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[tex3]P_1=\frac{15}{21}\,\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{P_1=\frac{5}{7}}[/tex3]

Agora, Supondo que ela é escolhida, então vamos calcular a probabilidade [tex3]P_2[/tex3]

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[tex3]P_2[/tex3]

dela ser escolhida entre as 3 das 5 candidatas. Veja que é o mesmo raciocínio, temos que supor que ela está entre as 3 e escolher as outras duas:

[tex3]\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}=\frac{4!}{2!\,2!}=6[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}=\frac{4!}{2!\,2!}=6[/tex3]

Logo, temos 6 casos onde ela é escolhida entre as 3.

Os casos possiveis são,

[tex3]\begin{pmatrix} 5 \\3 \end{pmatrix}=\frac{5!}{3!\,2!}=10[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix} 5 \\3 \end{pmatrix}=\frac{5!}{3!\,2!}=10[/tex3]

Assim, [tex3]P_2=\frac{6}{10}\,\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{P_2=\frac{3}{5}}[/tex3]

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[tex3]P_2=\frac{6}{10}\,\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{P_2=\frac{3}{5}}[/tex3]

Por fim, sabemos que entre as 3, só há um caso favorável dela ganhar entre 3 possiveis, ou seja, [tex3]P_3=\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]P_3=\frac{1}{3}[/tex3]

Portanto, note que os eventos são dependentes um dos outros, Camila deve ser escolhida entre as 5 e ser escolhida entre 3 e ser a vencedora. Isto é, devemos usar o Princípio Multiplicativo para descobrir a probabilidade dela ganhar,

[tex3]P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3[/tex3]

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[tex3]P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3[/tex3]

[tex3]P= \frac{5}{7}\cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{7}=0,14= 14 \%[/tex3]

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[tex3]P= \frac{5}{7}\cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{7}=0,14= 14 \%[/tex3]

Dessa forma, ela tem 14% de ganhar o concurso.

[paulo testoni]

Hola.

1ª fase : [tex3]\frac{5}{7}[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{7}[/tex3]

2ª fase : [tex3]\frac{3}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{5}[/tex3]

3ª fase : [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]P=\frac{\cancel{5}}{7}\cdot\frac{\cancel{3}}{\cancel{5}}\cdot\frac{1}{\cancel{3}}\\
P=\frac{1}{7}\\
P= 0,14\\
P= 14\%[/tex3]

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[tex3]P=\frac{\cancel{5}}{7}\cdot\frac{\cancel{3}}{\cancel{5}}\cdot\frac{1}{\cancel{3}}\\
P=\frac{1}{7}\\
P= 0,14\\
P= 14\%[/tex3]

Méritos ao Tiririca.

[POkemonPid]

Obrigado pelas respostas! Todas esclarecedoras.