Pré-Vestibular ⇒ (UCS - 2012) Função Exponencial Tópico resolvido

[Bira]

Olá, boa noite fiquei com uma dúvida a respeito dessa questão:
Qual é a meia-vida de uma substância que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano? (Considere [tex3]ln2=0,7[/tex3]

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[tex3]ln2=0,7[/tex3]

)

Na resolução é feito o uso de uma propriedade que não havia ouvido falar:
"A partir do dado que a taxa de degradação é de 4% ao ano, a quantidade restante da substância em função do tempo será: [tex3]Q(t)=Q_o*e^{-0,04t}[/tex3]

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[tex3]Q(t)=Q_o*e^{-0,04t}[/tex3]

"

A minha dúvida é: Quando coloquei na calculadora, o valor saiu próximo do esperado, após um ano, mas não era o valor exato de 96% restante. Como é um vestibular, eu posso aceitar que a degradação será sempre uma função exponencial de base [tex3]e[/tex3]

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[tex3]e[/tex3]

com o expoente referente à degradação?

Obrigado desde já.

[undefinied3]

Sim, você pode usar direto isso sempre. Empiricamente verifica-se que reações de desintegração, quimicamente falando, seguem uma lei de velocidade de ordem um, ou seja, pode-se escrever [tex3]v=k[A][/tex3]

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[tex3]v=k[A][/tex3]

, sendo [tex3][A][/tex3]

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[tex3][A][/tex3]

a concentração/quantidade/o que for (na química sempre usamos concentração, mas tratando-se de sólidos não faz muito sentido) do que estiver desintegrando. A partir daí dá pra deduzir a fórmula:
[tex3]v=k[A] \rightarrow -\frac{d[A]}{dt}=k[A] \rightarrow -\frac{1}{[A]}d[A]=kdt \rightarrow \int \frac{1}{[A]}d[A]=-k \int dt[/tex3]

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[tex3]v=k[A] \rightarrow -\frac{d[A]}{dt}=k[A] \rightarrow -\frac{1}{[A]}d[A]=kdt \rightarrow \int \frac{1}{[A]}d[A]=-k \int dt[/tex3]

[tex3]ln[A]=-kt+C_0 \rightarrow [A]=e^{-kt}.e^{C_0}[/tex3]

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[tex3]ln[A]=-kt+C_0 \rightarrow [A]=e^{-kt}.e^{C_0}[/tex3]

Para [tex3]t=0[/tex3]

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[tex3]t=0[/tex3]

, temos [tex3][A]=[A]_0 \rightarrow e^{C_0}=[A]_0[/tex3]

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[tex3][A]=[A]_0 \rightarrow e^{C_0}=[A]_0[/tex3]

[tex3]\therefore [A]=[A]_0e^{-kt}[/tex3]

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[tex3]\therefore [A]=[A]_0e^{-kt}[/tex3]

Lembrando que o menos que sai coloca-se na taxa de variação (a velocidade) é porque estamos perdendo substância, então descrevemos isso matematicamente com o sinal de -
Outra maneira é que desintegrações apresentam meia vida constante. Isso só é possivel de ocorrer se o processo for descrito por uma exponencial.

[Bira]

Entendi, nossa, não lembrava nem um pouco de quando tinha visto essa dedução na faculdade kkkkk
Muito obrigado undefined!