Pré-Vestibular

As soluções do sistema [tex3]\begin{cases}
x+y+z=28 \\
2x-y=32
\end{cases}[/tex3] em que [tex3]x>0[/tex3] , [tex3]y>0[/tex3] e [tex3]z>0[/tex3] obedecem às seguintes restrições:

Resposta

[tex3]16<x<20[/tex3] e [tex3]0<y<8[/tex3]

Grato desde já.

Mensagem não lidapor **caju** » Qua 23 Ago, 2017 19:56 · Mensagem não lida por **caju** » Qua 23 Ago, 2017 19:56

Olá FelipeMP,

O objetivo desta questão é que você encontre, através do sistema [tex3]\begin{cases}
x+y+z=28\,\,{\color{red}\text{(I)}} \\
2x-y=32\,\,\,\,\,\,{\color{red}\text{(II)}}
\end{cases}[/tex3] , todas as variáveis em função de todas variáveis. Ou seja, devemos encontrar:

[tex3]x=f(y)[/tex3] e [tex3]x=f(z)[/tex3]
[tex3]y=f(x)[/tex3] e [tex3]y=f(z)[/tex3]
[tex3]z=f(x)[/tex3] e [tex3]z=f(y)[/tex3]

Direto na equação [tex3]{\color{red}\text{(II)}}[/tex3] temos duas das funções acima:

[tex3]2x-y=32\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{y=2x-32}\text{ e }\boxed{x=\frac{y+32}{2}}[/tex3]

Na expressão acima temos [tex3]x=f(y)[/tex3] e [tex3]y=f(x)[/tex3] . Sabendo que [tex3]x>0[/tex3] e [tex3]y>0[/tex3] , temos:

[tex3]y>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,2x-32>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{x>16}[/tex3]

[tex3]x>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{y+32}{2}>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y>-32}[/tex3]

Fazendo [tex3]{\color{red}\text{(I) + (II)}}[/tex3] , temos:

[tex3]3x+z=60\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{z=60-3x}\text{ e }\boxed{x=\frac{60-z}{3}}[/tex3]

Na expressão acima temos [tex3]z=f(x)[/tex3] e [tex3]x=f(z)[/tex3] . Sabendo que [tex3]z>0[/tex3] e [tex3]x>0[/tex3] , temos:

[tex3]z>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,60-3x>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{x<20}[/tex3]

[tex3]x>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{60-z}{3}>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{z<60}[/tex3]

Fazendo [tex3]{\color{red}\text{2(I) - (II)}}[/tex3] , temos:

[tex3]3y+2z=24 \,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{y=\frac{24-2z}{3}}\text{ e }\boxed{z=\frac{24-3y}{2}}[/tex3]

Na expressão acima temos [tex3]y=f(z)[/tex3] e [tex3]z=f(y)[/tex3] . Sabendo que [tex3]y>0[/tex3] e [tex3]z>0[/tex3] , temos:

[tex3]y>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{24-2z}{3}>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{z<12}[/tex3]

[tex3]z>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{24-3y}{2}>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y<8}[/tex3]

Fazendo a interseção dos conjuntos acima, e sabendo que todas incógnitas são positivas, ficamos com:

[tex3]\boxed{\boxed{16 \lt x \lt 20,\,\,0 \lt y \lt 8,\,\,0 \lt z \lt 12}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Obrigado!
Estava procurando como resolver esta questão.

OBS:

: fot 1.jpg (10.7 KiB) Exibido 1693 vezes

Mensagem não lidapor **caju** » Seg 22 Jun, 2020 17:27 · Mensagem não lida por **caju** » Seg 22 Jun, 2020 17:27

Verdade Tulio150, você está corretíssimo!

Fiz a edição do post, modificando o ponto que você arrumou

Muito obrigado!

Grande abraço,
Prof. Caju

Mensagem não lidapor **jeabud** » Sáb 15 Ago, 2020 13:07

caju, uma pergunta idiota, q viajei....eu li a questão e fiz como fosse usar uma “variável livre”....tipo z = B (beta).

: 5CDBBB39-9D9F-4ACE-B18E-A9EA50DF1139.jpeg (45.58 KiB) Exibido 1518 vezes

como leio e A questão e reconheço O que afirmou acima? grato

Mensagem não lidapor **caju** » Sáb 15 Ago, 2020 14:31 · Mensagem não lida por **caju** » Sáb 15 Ago, 2020 14:31

Olá jeabud,

Você utilizou uma incógnita auxiliar [tex3]z=\beta[/tex3] e encontrou [tex3]x=\frac{60-\beta}{3}[/tex3] . Agora, como o enunciado diz que [tex3]x>0[/tex3] , podemos escrever [tex3]\frac{60-\beta}{3}>0\,\,\to\,\,\boxed{\boxed{\beta<60}}[/tex3] .

Fazendo esse mesmo raciocínio, e pensando em [tex3]x=\alpha[/tex3] e [tex3]y=\theta[/tex3] , você chegará na mesma resposta que eu apresentei.

Essa questão, provavelmente, possui alternativas a, b, c, d, e. Assim, você veria que a questão quer o intervalo de cada variável. Portanto, temos que mesclar as inequações dadas (x>0, y>0 e z>0) com o sistema apresentado e encontrar os intervalos onde as variáveis podem existir.

Grande abraço,
Prof. Caju

Mensagem não lidapor **jeabud** » Sáb 15 Ago, 2020 14:34

caju, outra pergunta...
Mas dai eu teria q trocar as colunas do sistema para fazer isso correto?

Mensagem não lidapor **caju** » Sáb 15 Ago, 2020 14:36 · Mensagem não lida por **caju** » Sáb 15 Ago, 2020 14:36

Você está falando das substituições que eu sugeri? Pode fazer trocando as colunas ou qualquer outra forma.

Mensagem não lidapor **jeabud** » Sáb 15 Ago, 2020 14:37

caju, sim...e pq estou c uma dúvida sobre as incógnitas livres como postei aqui no fórum

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