Pré-VestibularAnálise Combinátoria Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Marcelocastro
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Ago 2017 17 20:42

Análise Combinátoria

Mensagem não lida por Marcelocastro »

Em um grupo de 10 estudantes, composto por 3 moças e 7
rapazes, sabe-se que o número máximo de formas distintas de
esses estudantes formarem uma fila, em que nenhuma dupla de
moças ocupe posições consecutivas, é igual a k.8!.
Com base nessa informação, pode-se afirmar que a soma dos
dígitos de k é igual a
A) 6
B) 8
C) 11
D) 14
E) 17

Resposta - A




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rippertoru
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Re: Análise Combinátoria

Mensagem não lida por rippertoru »

[tex3]C = \frac{10!}{3!(10 - 3)!}\times (7!) = \frac{10.9.8.7!}{3!7!}\times (7!) = \frac{10.9.8.7!}{3!} = \frac{10.9.8!}{6} = 5.3.8! = 15.8![/tex3]

Sendo [tex3]k\times 8![/tex3] o número de combinações, temos

[tex3]k.8! = 15.8![/tex3]

[tex3]k = 15[/tex3]

Soma dos dígitos de k

[tex3]1 + 5 = 6[/tex3]



Sem sacrifício não há vitória.

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MateusQqMD
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Re: Análise Combinátoria

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Deixarei algumas soluções alternativas.

Pelo Primeiro Lema de Kaplansky, podemos escolher [tex3]3[/tex3] lugares, entre [tex3]10[/tex3] possíveis, sem que haja lugares consecutivos, de [tex3]f(10,3) = C_{10 - 3 + 1}^3 = \frac{8!}{3!5!} = 56[/tex3] modos. Depois disso, devemos organizar as [tex3]3[/tex3] moças nesses lugares ([tex3]3![/tex3] modos) e os [tex3]7[/tex3] rapazes nos lugares restantes ([tex3]7![/tex3] modos).

De sorte que o número de formas desses estudantes formarem uma fila é [tex3]56\times 3!\times 7! = 42 \times 8!.[/tex3]


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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MateusQqMD
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Re: Análise Combinátoria

Mensagem não lida por MateusQqMD »

MateusQqMD escreveu:
Ter 29 Out, 2019 13:11
Primeiro Lema de Kaplansky
Demonstração - Primeiro Lema de Kaplansky


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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MateusQqMD
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Re: Análise Combinátoria

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Outra solução:

O número de modos de organizarmos os rapazes em fila é [tex3]P_7 = 7!.[/tex3] Por exemplo, uma dessas configurações é

[tex3]\begin{array}{ccccccccc}
\underline{} & \text{R}_1 & \underline{} & \text{R}_2 & \underline{} & \text{R}_3 & \underline{} & \text{R}_4 & \underline{} & \text{R}_5 & \underline{} & \text{R}_6& \underline{} & \text{R}_7 & \underline{} \\ 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 7 & & 8 \\ \end{array}[/tex3]
Agora, temos [tex3]8[/tex3] lugares disponíveis para colocarmos as moças. Há [tex3]C_8^3[/tex3] modos de escolhermos seus lugares. Há [tex3]3![/tex3] modos de organizá-las.

O número de filas é [tex3]7! \times C_8^3 \times 3! = 42 \times 8!.[/tex3]



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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