Pré-Vestibular ⇒ (Simulado Enem) Menor distância entre dois pontos

[Lucabral]

Um holofote de tamanho desprezível é colocado no ponto A e ilumina um ponto P sob um ângulo de alfa graus com a horizontal.Após deslocar 12 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

metros em direção ao ponto B,parando exatamente nesse ponto,o holofote passa a iluminar o ponto P sob um ângulo de beta graus com a horizontal,conforme a figura

tri.jpg (6.82 KiB) Exibido 1341 vezes

Sabendo que t(alfa)=[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2 e tg(beta)=4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

,a menor distância do ponto P ao segmento AB,em metros,é:

GABARITO: 16

[LucasPinafi]

Trace a perpendicular que vai de P até AB. Seja X esse ponto. Então AX = x e XB = y e PX = h;
[tex3]\tan \beta = \frac h y [/tex3]

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[tex3]\tan \beta = \frac h y [/tex3]

[tex3]\tan \alpha = \frac h x [/tex3]

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[tex3]\tan \alpha = \frac h x [/tex3]

Isolando y na primeira equação e isolando x na segunda e somando, sabendo que [tex3]x+y = 12 \sqrt 3 [/tex3]

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[tex3]x+y = 12 \sqrt 3 [/tex3]

, segue que:
[tex3]x+ y = 12 \sqrt 3 = \frac{h}{\tan \beta }+ \frac{h}{\tan \alpha}\therefore h =12\sqrt 3 \frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} =\frac{12 \sqrt 3 \cdot 4 \sqrt 3 \cdot \frac {\sqrt 3 } 2 }{4\sqrt 3 + \frac {\sqrt 3} 2 } = \frac{12\cdot 3 \cdot 4 \cdot \sqrt 3 }{9\sqrt 3} = 16[/tex3]

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[tex3]x+ y = 12 \sqrt 3 = \frac{h}{\tan \beta }+ \frac{h}{\tan \alpha}\therefore h =12\sqrt 3 \frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} =\frac{12 \sqrt 3 \cdot 4 \sqrt 3 \cdot \frac {\sqrt 3 } 2 }{4\sqrt 3 + \frac {\sqrt 3} 2 } = \frac{12\cdot 3 \cdot 4 \cdot \sqrt 3 }{9\sqrt 3} = 16[/tex3]

[jomatlove]

Resolução:
A menor distância é a altura do ponto P em relação ao lado AB.Trace a altura PH,chame AH de x e BH de y.Como AB=[tex3]12\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]12\sqrt{3}[/tex3]

,então: x+y=[tex3]12\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]12\sqrt{3}[/tex3]

.
No [tex3]\Delta APH[/tex3]

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[tex3]\Delta APH[/tex3]

:
[tex3]\tan \alpha =\frac{h}{x}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{x}\rightarrow x=\frac{2h}{\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]\tan \alpha =\frac{h}{x}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{x}\rightarrow x=\frac{2h}{\sqrt{3}}[/tex3]

No [tex3]\Delta PHB[/tex3]

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[tex3]\Delta PHB[/tex3]

:
[tex3]\tan \beta =\frac{h}{y}\rightarrow 4\sqrt{3}=\frac{h}{y}\rightarrow y=\frac{h}{4\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]\tan \beta =\frac{h}{y}\rightarrow 4\sqrt{3}=\frac{h}{y}\rightarrow y=\frac{h}{4\sqrt{3}}[/tex3]

.
Sendo [tex3]x+y=12\sqrt{3}\rightarrow \frac{2h}{\sqrt{3}}+\frac{h}{4\sqrt{3}}=12\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]x+y=12\sqrt{3}\rightarrow \frac{2h}{\sqrt{3}}+\frac{h}{4\sqrt{3}}=12\sqrt{3}[/tex3]

Multiplicando tudo por [tex3]4\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]4\sqrt{3}[/tex3]

,resulta:
[tex3]8h+h=144\rightarrow 9h=144\rightarrow h=16[/tex3]

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[tex3]8h+h=144\rightarrow 9h=144\rightarrow h=16[/tex3]

[Lucabral]

Cada dia acredito mais que pessoas que contribuem com a solução de enunciados herdarão o reino dos céus. (hahahaha) Sério,obrigado mesmo!