Pré-Vestibular ⇒ pucpr analise combinatoria

[Mariapazza]

Unindo-se três a três um certo número de pontos de um plano,
obtiveram-se 110 triângulos. Sabendo-se que, desses pontos, 5
estavam alinhados, quantos eram os pontos?

[csmarcelo]

Seja [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

o total de pontos.

Total de combinações de 3 pontos: [tex3]C^n_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^n_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}[/tex3]

Total de combinações de 3 pontos dos 5 alinhados: [tex3]C^5_3=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^5_3=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]

Total de triângulos: [tex3]\frac{n!}{3!(n-3)!}-10=110[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n!}{3!(n-3)!}-10=110[/tex3]

[tex3]\frac{n!}{3!(n-3)!}-10=110[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n!}{3!(n-3)!}-10=110[/tex3]

[tex3]\frac{n!}{(n-3)!}=720[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n!}{(n-3)!}=720[/tex3]

[tex3](n-2)(n-1)n=720[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n-2)(n-1)n=720[/tex3]

[tex3]720=2^4\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot10\rightarrow n=10[/tex3]

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[tex3]720=2^4\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot10\rightarrow n=10[/tex3]

[paulo testoni]

Hola.

Seja n o número de pontos, então:

[tex3]C_{n}^3-C_{5}^3=110\\
\frac{n!}{3!(n-3)!}-\frac{5!}{3!(5-3)!}=110\\
\frac{n*(n-1)*(n-2)*(n-3)!}{6*(n-3)!}-10=110\\
\frac{n*(n-1)*(n-2)}{6}=110+10\\
n*(n-1)*(n-2)=6*120\\
n*(n-1)*(n-2)=720\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{n}^3-C_{5}^3=110\\
\frac{n!}{3!(n-3)!}-\frac{5!}{3!(5-3)!}=110\\
\frac{n*(n-1)*(n-2)*(n-3)!}{6*(n-3)!}-10=110\\
\frac{n*(n-1)*(n-2)}{6}=110+10\\
n*(n-1)*(n-2)=6*120\\
n*(n-1)*(n-2)=720\\[/tex3]

Decompondo o 720, fica:

[tex3]n*(n-1)*(n-2)=2^4*3^2*5\\
n*(n-1)*(n-2)=16*9*5[/tex3]

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[tex3]n*(n-1)*(n-2)=2^4*3^2*5\\
n*(n-1)*(n-2)=16*9*5[/tex3]

Resolvendo sem quebrar a cabeça com uma equação do terceiro grau.

[tex3]n'=16\\
ou\\
n''-1=9\\
n''=10\\
ou\\
n'''-2=5\\
n'''=7[/tex3]

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[tex3]n'=16\\
ou\\
n''-1=9\\
n''=10\\
ou\\
n'''-2=5\\
n'''=7[/tex3]

Agora substitua esses valores no lugar de [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

para ver qual dá a igualdade [tex3]720[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]720[/tex3]

Para n'=16, temos:

[tex3]n*(n-1)*(n-2)=720\\
16*(16-1)*(16-2)=720\\
16*15*14=720\\
3360=720, falsa[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n*(n-1)*(n-2)=720\\
16*(16-1)*(16-2)=720\\
16*15*14=720\\
3360=720, falsa[/tex3]

Para n''=10, temos:

[tex3]n*(n-1)*(n-2)=720
18*(10-1)*(10-2)=720\\
10*9*8=720\\
720=720, verdadeiro\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n*(n-1)*(n-2)=720
18*(10-1)*(10-2)=720\\
10*9*8=720\\
720=720, verdadeiro\\[/tex3]

essa é a resposta.

[csmarcelo]

Resolvendo sem quebrar a cabeça com uma equação do terceiro grau.

[tex3]n'=16\\
ou\\
n''-1=9\\
n''=10\\
ou\\
n'''-2=5\\
n'''=7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n'=16\\
ou\\
n''-1=9\\
n''=10\\
ou\\
n'''-2=5\\
n'''=7[/tex3]

Paulo, não compreendi o raciocínio por trás disso. Com base em que você fez as afirmações acima?

[paulo testoni]

Hola csmarcelo.

Não sei se estás perguntando só para ser gentil, pois nota-se que tens uma elasticidade mental formidável para resolução de exercícios matemático.
Heeeeeeeee.
Abraços.

[csmarcelo]

Não, não estou querendo ser gentil. Juro que não entendi.

Até certo ponto o nosso raciocínio foi o mesmo, o que nos levou à equação abaixo:

[tex3](n-2)(n-1)n=720[/tex3]

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[tex3](n-2)(n-1)n=720[/tex3]

Para resolvê-la, eu decompus 720 em fatores primos e, em seguida, reagrupei-os de forma a obter 3 números consecutivos, ficando óbvio o valor de [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

:

[tex3]720=2^4\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot10\rightarrow n=10[/tex3]

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[tex3]720=2^4\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot10\rightarrow n=10[/tex3]

Você, no entanto, simplesmente afirmou que, dada a decomposição em fatores primos, algum desses fatores equivaleria ao fator de mesma ordem numérica da primeira equação. Como pode fazer tal afirmação?

Eu poderia escrever, por exemplo: [tex3]720=20\cdot18\cdot2[/tex3]

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[tex3]720=20\cdot18\cdot2[/tex3]

. E, nessa situação:

[tex3]n'=20\\
ou\\
n''-1=18\\
n''=19\\
ou\\
n'''-2=2\\
n'''=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n'=20\\
ou\\
n''-1=18\\
n''=19\\
ou\\
n'''-2=2\\
n'''=4[/tex3]

[paulo testoni]

Hola csmarcelo.

Para mim parece óbvio, ou seja, elementar.

Obedeci a decomposição dos fatores primos do número 720, pois essa decomposição é única. Não procurei quantas maneira há para se escrever três números cujo produto seja 720. Daí testei na equação qual deles dava a igualdade verdadeira.

Note que:

Quando n= 20, temos:

[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
20*(20-2)*(20-1)=720\\
20*18*19=720\\
6840\neq 720[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
20*(20-2)*(20-1)=720\\
20*18*19=720\\
6840\neq 720[/tex3]

Quando n= 19, temos:

[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
19*(19-2)*(19-1)=720\\
19*17*18=720\\
5849\neq 720[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
19*(19-2)*(19-1)=720\\
19*17*18=720\\
5849\neq 720[/tex3]

Quando n= 4 temos:

[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
4*(4-2)*(4-1)=720\\
4*2*3=720\\
24\neq 720[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
4*(4-2)*(4-1)=720\\
4*2*3=720\\
24\neq 720[/tex3]

Todos resultados deram falsos.

Espero ter me feito entender. Estarei sempre disposto a lhe tirar qualquer dúvida até porque vc é um grande colaborador do nosso fórum.
Abraços e bom final de semana.

[csmarcelo]

Ah, entendi. Você foi por tentativa e erro, mas deu sorte, por assim dizer, de na primeira combinação de fatores já encontrar o que levou a resposta correta.

Achava que houvesse algum raciocínio por trás que garantisse que os fatores resultantes da decomposição em fatores primos levaria, invariavelmente, à resposta correta.

[paulo testoni]

Hola csmarcelo.

Não pense assim pois o que ouve na realidade é verdadeiro esse raciocínio.