Pré-Vestibular ⇒ pucpr analise combinatoria
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Ago 2017
02
22:31
pucpr analise combinatoria
Unindo-se três a três um certo número de pontos de um plano,
obtiveram-se 110 triângulos. Sabendo-se que, desses pontos, 5
estavam alinhados, quantos eram os pontos?
obtiveram-se 110 triângulos. Sabendo-se que, desses pontos, 5
estavam alinhados, quantos eram os pontos?
Ago 2017
03
08:36
Re: pucpr analise combinatoria
Seja [tex3]n[/tex3]
Total de combinações de 3 pontos: [tex3]C^n_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}[/tex3]
Total de combinações de 3 pontos dos 5 alinhados: [tex3]C^5_3=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]
Total de triângulos: [tex3]\frac{n!}{3!(n-3)!}-10=110[/tex3]
[tex3]\frac{n!}{3!(n-3)!}-10=110[/tex3]
[tex3]\frac{n!}{(n-3)!}=720[/tex3]
[tex3](n-2)(n-1)n=720[/tex3]
[tex3]720=2^4\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot10\rightarrow n=10[/tex3]
o total de pontos.Total de combinações de 3 pontos: [tex3]C^n_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}[/tex3]
Total de combinações de 3 pontos dos 5 alinhados: [tex3]C^5_3=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]
Total de triângulos: [tex3]\frac{n!}{3!(n-3)!}-10=110[/tex3]
[tex3]\frac{n!}{3!(n-3)!}-10=110[/tex3]
[tex3]\frac{n!}{(n-3)!}=720[/tex3]
[tex3](n-2)(n-1)n=720[/tex3]
[tex3]720=2^4\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot10\rightarrow n=10[/tex3]
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Ago 2017
03
08:48
Re: pucpr analise combinatoria
Hola.
Seja n o número de pontos, então:
[tex3]C_{n}^3-C_{5}^3=110\\
\frac{n!}{3!(n-3)!}-\frac{5!}{3!(5-3)!}=110\\
\frac{n*(n-1)*(n-2)*(n-3)!}{6*(n-3)!}-10=110\\
\frac{n*(n-1)*(n-2)}{6}=110+10\\
n*(n-1)*(n-2)=6*120\\
n*(n-1)*(n-2)=720\\[/tex3]
Decompondo o 720, fica:
[tex3]n*(n-1)*(n-2)=2^4*3^2*5\\
n*(n-1)*(n-2)=16*9*5[/tex3]
Resolvendo sem quebrar a cabeça com uma equação do terceiro grau.
[tex3]n'=16\\
ou\\
n''-1=9\\
n''=10\\
ou\\
n'''-2=5\\
n'''=7[/tex3]
Agora substitua esses valores no lugar de [tex3]n[/tex3] para ver qual dá a igualdade [tex3]720[/tex3]
Para n'=16, temos:
[tex3]n*(n-1)*(n-2)=720\\
16*(16-1)*(16-2)=720\\
16*15*14=720\\
3360=720, falsa[/tex3]
Para n''=10, temos:
[tex3]n*(n-1)*(n-2)=720
18*(10-1)*(10-2)=720\\
10*9*8=720\\
720=720, verdadeiro\\[/tex3]
essa é a resposta.
Seja n o número de pontos, então:
[tex3]C_{n}^3-C_{5}^3=110\\
\frac{n!}{3!(n-3)!}-\frac{5!}{3!(5-3)!}=110\\
\frac{n*(n-1)*(n-2)*(n-3)!}{6*(n-3)!}-10=110\\
\frac{n*(n-1)*(n-2)}{6}=110+10\\
n*(n-1)*(n-2)=6*120\\
n*(n-1)*(n-2)=720\\[/tex3]
Decompondo o 720, fica:
[tex3]n*(n-1)*(n-2)=2^4*3^2*5\\
n*(n-1)*(n-2)=16*9*5[/tex3]
Resolvendo sem quebrar a cabeça com uma equação do terceiro grau.
[tex3]n'=16\\
ou\\
n''-1=9\\
n''=10\\
ou\\
n'''-2=5\\
n'''=7[/tex3]
Agora substitua esses valores no lugar de [tex3]n[/tex3] para ver qual dá a igualdade [tex3]720[/tex3]
Para n'=16, temos:
[tex3]n*(n-1)*(n-2)=720\\
16*(16-1)*(16-2)=720\\
16*15*14=720\\
3360=720, falsa[/tex3]
Para n''=10, temos:
[tex3]n*(n-1)*(n-2)=720
18*(10-1)*(10-2)=720\\
10*9*8=720\\
720=720, verdadeiro\\[/tex3]
essa é a resposta.
Última edição: paulo testoni (Qui 03 Ago, 2017 08:51). Total de 1 vez.
Paulo Testoni
Ago 2017
03
10:47
Re: pucpr analise combinatoria
Paulo, não compreendi o raciocínio por trás disso. Com base em que você fez as afirmações acima?paulo testoni escreveu: ↑Qui 03 Ago, 2017 08:48Resolvendo sem quebrar a cabeça com uma equação do terceiro grau.
[tex3]n'=16\\
ou\\
n''-1=9\\
n''=10\\
ou\\
n'''-2=5\\
n'''=7[/tex3]
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Ago 2017
03
14:18
Re: pucpr analise combinatoria
Hola csmarcelo.
Não sei se estás perguntando só para ser gentil, pois nota-se que tens uma elasticidade mental formidável para resolução de exercícios matemático.
Heeeeeeeee.
Abraços.
Não sei se estás perguntando só para ser gentil, pois nota-se que tens uma elasticidade mental formidável para resolução de exercícios matemático.
Heeeeeeeee.
Abraços.
Paulo Testoni
Ago 2017
03
14:30
Re: pucpr analise combinatoria
Não, não estou querendo ser gentil. Juro que não entendi.
Até certo ponto o nosso raciocínio foi o mesmo, o que nos levou à equação abaixo:
[tex3](n-2)(n-1)n=720[/tex3]
Para resolvê-la, eu decompus 720 em fatores primos e, em seguida, reagrupei-os de forma a obter 3 números consecutivos, ficando óbvio o valor de [tex3]n[/tex3] :
[tex3]720=2^4\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot10\rightarrow n=10[/tex3]
Você, no entanto, simplesmente afirmou que, dada a decomposição em fatores primos, algum desses fatores equivaleria ao fator de mesma ordem numérica da primeira equação. Como pode fazer tal afirmação?
Eu poderia escrever, por exemplo: [tex3]720=20\cdot18\cdot2[/tex3] . E, nessa situação:
[tex3]n'=20\\
ou\\
n''-1=18\\
n''=19\\
ou\\
n'''-2=2\\
n'''=4[/tex3]
Até certo ponto o nosso raciocínio foi o mesmo, o que nos levou à equação abaixo:
[tex3](n-2)(n-1)n=720[/tex3]
Para resolvê-la, eu decompus 720 em fatores primos e, em seguida, reagrupei-os de forma a obter 3 números consecutivos, ficando óbvio o valor de [tex3]n[/tex3] :
[tex3]720=2^4\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot10\rightarrow n=10[/tex3]
Você, no entanto, simplesmente afirmou que, dada a decomposição em fatores primos, algum desses fatores equivaleria ao fator de mesma ordem numérica da primeira equação. Como pode fazer tal afirmação?
Eu poderia escrever, por exemplo: [tex3]720=20\cdot18\cdot2[/tex3] . E, nessa situação:
[tex3]n'=20\\
ou\\
n''-1=18\\
n''=19\\
ou\\
n'''-2=2\\
n'''=4[/tex3]
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Ago 2017
04
08:30
Re: pucpr analise combinatoria
Hola csmarcelo.
Para mim parece óbvio, ou seja, elementar.
Obedeci a decomposição dos fatores primos do número 720, pois essa decomposição é única. Não procurei quantas maneira há para se escrever três números cujo produto seja 720. Daí testei na equação qual deles dava a igualdade verdadeira.
Note que:
Quando n= 20, temos:
[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
20*(20-2)*(20-1)=720\\
20*18*19=720\\
6840\neq 720[/tex3]
Quando n= 19, temos:
[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
19*(19-2)*(19-1)=720\\
19*17*18=720\\
5849\neq 720[/tex3]
Quando n= 4 temos:
[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
4*(4-2)*(4-1)=720\\
4*2*3=720\\
24\neq 720[/tex3]
Todos resultados deram falsos.
Espero ter me feito entender. Estarei sempre disposto a lhe tirar qualquer dúvida até porque vc é um grande colaborador do nosso fórum.
Abraços e bom final de semana.
Para mim parece óbvio, ou seja, elementar.
Obedeci a decomposição dos fatores primos do número 720, pois essa decomposição é única. Não procurei quantas maneira há para se escrever três números cujo produto seja 720. Daí testei na equação qual deles dava a igualdade verdadeira.
Note que:
Quando n= 20, temos:
[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
20*(20-2)*(20-1)=720\\
20*18*19=720\\
6840\neq 720[/tex3]
Quando n= 19, temos:
[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
19*(19-2)*(19-1)=720\\
19*17*18=720\\
5849\neq 720[/tex3]
Quando n= 4 temos:
[tex3]n*(n-2)*(n-1)=720\\
4*(4-2)*(4-1)=720\\
4*2*3=720\\
24\neq 720[/tex3]
Todos resultados deram falsos.
Espero ter me feito entender. Estarei sempre disposto a lhe tirar qualquer dúvida até porque vc é um grande colaborador do nosso fórum.
Abraços e bom final de semana.
Paulo Testoni
Ago 2017
04
09:05
Re: pucpr analise combinatoria
Ah, entendi. Você foi por tentativa e erro, mas deu sorte, por assim dizer, de na primeira combinação de fatores já encontrar o que levou a resposta correta.
Achava que houvesse algum raciocínio por trás que garantisse que os fatores resultantes da decomposição em fatores primos levaria, invariavelmente, à resposta correta.
Achava que houvesse algum raciocínio por trás que garantisse que os fatores resultantes da decomposição em fatores primos levaria, invariavelmente, à resposta correta.
Última edição: csmarcelo (Sex 04 Ago, 2017 09:08). Total de 1 vez.
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Ago 2017
04
09:37
Re: pucpr analise combinatoria
Hola csmarcelo.
Não pense assim pois o que ouve na realidade é verdadeiro esse raciocínio.
Não pense assim pois o que ouve na realidade é verdadeiro esse raciocínio.
Paulo Testoni
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