Pré-Vestibular

Frederico

Seja P(x) um polinômio de grau 3 tal que P(1) = P(2) = P(3) = 5 e P(4) = 17. Obtenha o valor de P(5).

Mensagem não lidapor **Lonel** » Qua 02 Ago, 2017 10:03 · Mensagem não lida por **Lonel** » Qua 02 Ago, 2017 10:03

De forma genérica, [tex3]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex3] . Substitituindo os valores de x, temos que:

[tex3]a+b+c+d=5[/tex3] (i)
[tex3]8a+4b+2c+d=5[/tex3] (ii)
[tex3]27a+9b+3c+d=5[/tex3] (iii)
[tex3]64a+16b+4c+d=17[/tex3] (iv)

Queremos encontrar:

[tex3]P(5)=125a+25b+5c+d[/tex3]

Fazendo (ii) - (i), encontramos que:

[tex3]7a+3b+c=0[/tex3] (v)

Fazendo (iv) - (iii), obtemos:

[tex3]37a+7b+c=12[/tex3] (vi)

Fazendo (vi) - (v), encontramos:

[tex3]30a+4b=12[/tex3] (vii)

Note que, ao multiplicar (vii) por dois, e somar com (iv) + (i), encontramos que:

[tex3]60a+8a+64a+16b+4c+d+a+b+c+d=24+17+5[/tex3]
[tex3]125a+25b+5c+2d=46[/tex3]
[tex3]P(5)+d=46\Rightarrow P(5)=46-d[/tex3] (viii)

Agora basta encontrar o valor de d:

Fazendo (iii) - (ii):

[tex3]19a+5b+c=0[/tex3] (ix)

Fazendo (ix) - (v):

[tex3]12a+2b=0[/tex3] (x)

Fazendo (vii)/2 - (x):

[tex3]3a=6\Rightarrow a=2[/tex3]

Substituindo o valor de a nas equações anteriores, encontramos as outras incógnitas:

[tex3]a=2,b=-12,c=22,d=-7[/tex3]

Substituindo o valor de d em (viii), encontramos que:

[tex3]P(5)=46-(-7)\Rightarrow P(5)=53[/tex3]

Se quiser fazer a prova real, é só montar o polinômio P(x), já que conhecemos {a,b,c,d}, e substituir os valores de x e ve se batem, o que é verdade. Ou seja:

[tex3]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex3]
[tex3]P(x)=2x^3-12x^2+22x-7[/tex3]

Talvez tenha uma solução mais imediata utilizando um sistema com matrizes, mas como nunca aprendi a fazer isso ainda, não posso confirmar nada.

Frederico

Muito obrigado pela atenção!

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