Pré-Vestibular ⇒ (UFSM)Circunferência Tópico resolvido

[Flavio2020]

A partir de um ponto P, exterior a uma circunferência traçam-se as tangentes perpendiculares PA e PB, logo traça-se a secante PMN de modo que o arco AN seja o dobro do arco AM, calcular a medida do ângulo NPB.
a)60°
b)75°
c)53°
d)45°
r:b

[Tassandro]

Flavio2020,

20200725_070312.jpg (24.69 KiB) Exibido 595 vezes

Seja [tex3]θ=\widehat{AN}\to\widehat{AN}=2θ[/tex3]

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[tex3]θ=\widehat{AN}\to\widehat{AN}=2θ[/tex3]

Brincando com os ângulos, achamos que [tex3]\angle NPA=\fracθ2=\angle MAN[/tex3]

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[tex3]\angle NPA=\fracθ2=\angle MAN[/tex3]

, de modo que, sabendo que [tex3]\#APBO[/tex3]

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[tex3]\#APBO[/tex3]

é um quadrado (o que pode ser facilmente deduzido pelo fato de as tangentes serem perpendiculares), o [tex3]\triangle NAP[/tex3]

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[tex3]\triangle NAP[/tex3]

é isóceles de base [tex3]\overline{NP}[/tex3]

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[tex3]\overline{NP}[/tex3]

, o que faz [tex3]AN=r[/tex3]

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[tex3]AN=r[/tex3]

, assim, facilmente temos que [tex3]2θ=60\degree\toθ=30\degree[/tex3]

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[tex3]2θ=60\degree\toθ=30\degree[/tex3]

e o ângulo procurado vale [tex3]90\degree-\fracθ2=75\degree[/tex3]

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[tex3]90\degree-\fracθ2=75\degree[/tex3]

[tex3]\dagger[/tex3]

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[tex3]\dagger[/tex3]