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Mensagem não lidapor **felipef** » Qui 27 Jul, 2017 18:28

No hexágono regular da figura a seguir, a distância do vértice E à diagonal AC é 3.

: Untitled-1.jpg (29.96 KiB) Exibido 5639 vezes

Então, a área do polígono assinalado é:
a) 6
b) 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c) 5 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
d) 6 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
e) 8 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] [/align]

Comecei assim:

: Untitled.jpg (35.18 KiB) Exibido 5639 vezes

[tex3]ACDEF = \Delta ACE + \Delta CDE + \Delta EFA[/tex3]
[tex3]\Delta CDE = \Delta EFA[/tex3]
Analisando o triângulo equilátero central: [tex3]h = 3 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \rightarrow a = 2\sqrt{3}[/tex3]
A = [tex3]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = 12.\sqrt{3}.\frac{1}{4} = 3[/tex3]

Mensagem não lidapor **Marcos** » Qui 27 Jul, 2017 20:02 · Mensagem não lida por **Marcos** » Qui 27 Jul, 2017 20:02

Olá felipef.Observe a solução:

A área pedida será a diferença entre a área do hexágono regular e a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] .O ângulo interno do hexágono regular mede [tex3]120^o[/tex3] .O lado do hexágono pode ser calculado utilizando a Lei dos Cossenos no triângulo [tex3]ABC[/tex3] .Observe a fig. em anexo.

[tex3]i)[/tex3] Aplicando relação trigonométrica, temos:

[tex3]tg30^o=\frac{b}{3}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{b}{3}[/tex3]
[tex3]b=\sqrt{3}\rightarrow AC=2b\rightarrow \boxed{AC=2\sqrt{3}}[/tex3] .

[tex3]ii)[/tex3] Aplicando a Lei dos Cossenos no [tex3]\triangle_{ABC}[/tex3] , teremos:

[tex3](2\sqrt{3})^2=a^2+a^2-2.(a).(a).\cos120^o[/tex3]
[tex3]12=2a^2-2a^2.\left(-\frac{1}{2}\right)[/tex3]
[tex3]12=2a^2+a^2[/tex3]
[tex3]12=3a^2[/tex3]
[tex3]\boxed{a=2}[/tex3]

[tex3]iii)[/tex3] Área [tex3]Hexágono_{ABCDEF}[/tex3] :
[tex3]S_{ABCDEF}=6.\left(\frac{a^2.\sqrt{3}}{4}\right)=6.\left(\frac{4.\sqrt{3}}{4}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{ABCDEF}=6\sqrt{3} \ u.a}[/tex3] .

[tex3]iv)[/tex3] Área [tex3]\triangle_{ABC}[/tex3] :
[tex3]S_{ABC}=\frac{a.a.sen120^o}{2}=\frac{a^2.\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}=\frac{4.\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}[/tex3]
[tex3]S_{ABC}=\sqrt{3} \ u.a[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Então, a área do polígono [tex3]ACDEF[/tex3] assinalado é:

Área do polígono [tex3]_{ACDEF}=S_{ABCDEF}-S_{ABC}[/tex3]
Área do polígono [tex3]ACDEF = 6\sqrt{3} -\sqrt{3}=\boxed{\boxed{5\sqrt{3} \ u.a}} \Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3] .

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