Pré-Vestibular ⇒ (UFOP-2007) Resto da divisão do polinômio Tópico resolvido

[Liliana]

O resto da divisão do polinômio p(x)= x^99 – 2x + 3 pelo polinômio q(x) = x² – 1 é
A) –x + 3
B) 6
C) 8
D) 3x – 1

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]x^{99}-2x+3 \equiv x^{97}-2x+3\equiv ... \equiv x-2x +3 \mod (x^2-1) =-x+3[/tex3]

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[tex3]x^{99}-2x+3 \equiv x^{97}-2x+3\equiv ... \equiv x-2x +3 \mod (x^2-1) =-x+3[/tex3]

a operação (mod) funciona assim: se um polinômio [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

é divisível por [tex3]x^2-1[/tex3]

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[tex3]x^2-1[/tex3]

então [tex3]p(x) \equiv 0 \mod x^2-1[/tex3]

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[tex3]p(x) \equiv 0 \mod x^2-1[/tex3]

como [tex3]x^{99}-2x+3 = x^{99} - x^{97} + x^{97}-2x+3 = x^{97}(x^2-1) + x^{97}-2x+3[/tex3]

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[tex3]x^{99}-2x+3 = x^{99} - x^{97} + x^{97}-2x+3 = x^{97}(x^2-1) + x^{97}-2x+3[/tex3]

então [tex3]x^{99}-2x+3 \equiv (x^2-1)x^{97} + x^{97} -2x+3 \mod (x^2-1) \equiv x^{97}-2x+3 \mod (x^2-1)[/tex3]

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[tex3]x^{99}-2x+3 \equiv (x^2-1)x^{97} + x^{97} -2x+3 \mod (x^2-1) \equiv x^{97}-2x+3 \mod (x^2-1)[/tex3]

repara que o expoente vai reduzindo de 2 a cada vez que eu faço essa operação até ele chegar em 1. como -x+3 tem grau menor que x²-1 então essa é a resposta.

[Liliana]

Mas 3x-1 também tem grau menor que x²-1

[Auto Excluído (ID:12031)]

sim, todas as alternativas tem um grau menor já que o resto da divisão de polinômios sempre acaba num grau menor que o do divisor. A diferença está naquela operação de fatorar os expoentes grandes até chegar num polinômio de grau pequeno.

É que nem dividir um número. Tipo [tex3]111[/tex3]

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[tex3]111[/tex3]

por 7, você separa 111 em múltiplos de 7 até chegar num número menor que 7.
[tex3]111 = 70 + 41 \equiv 41 \mod 7 = 35 + 6 \mod 7 \equiv 6 \mod 7[/tex3]

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[tex3]111 = 70 + 41 \equiv 41 \mod 7 = 35 + 6 \mod 7 \equiv 6 \mod 7[/tex3]

(então 111 deixa resto 6 quando dividido por 7 - não me interessa o quociente, só o resto!)
A ideia é a mesma. Você tira do polinomio original vários multiplos do divisor até chegar num polinomio de grau menor. Entendeu mais ou menos?

[Liliana]

Na verdade, eu não entendi isso de mod... Nunca vi em lugar nenhum, e não sei se cai em vestibular...
Se não for abusar da sua paciência, tem outra maneira de resolver o exercício ser usar esse mod?

[undefinied3]

Não cai nos convencionais mas é o tipo de coisa que resolve esse tipo de questão (e mais difíceis) imediatamente.
[tex3]P(x)=Q(x)D(x)+R(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)=Q(x)D(x)+R(x)[/tex3]

No caso, [tex3]D(x)=x^2-1[/tex3]

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[tex3]D(x)=x^2-1[/tex3]

. Segue que o resto é de primeiro grau, de modo que [tex3]R(x)=ax+b[/tex3]

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[tex3]R(x)=ax+b[/tex3]

[tex3]P(x)=Q(x)(x^2-1)+ax+b[/tex3]

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[tex3]P(x)=Q(x)(x^2-1)+ax+b[/tex3]

Agora é encontrar a e b por um sistema. Podemos fazer x=1 e x=-1 porque vai anular o fator Q(x), e podemos calcular P(1) e P(-1) facilmente no polinômio original. Aí é só isolar a e b.

[jomatlove]

Resolução:
Para resolver essa questão,devemos usar o teorema do resto:o resto da divisão do polinômio P(x) pelo binômio h(x)=x-a é R(a).
Agora,fazemos uma ampliação desse teorema,observe:
[tex3]1)x^{2}-1=0\rightarrow x^{2}=1[/tex3]

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[tex3]1)x^{2}-1=0\rightarrow x^{2}=1[/tex3]

[tex3]2)R(x)=(x^{2})^{49}.x-2x+3[/tex3]

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[tex3]2)R(x)=(x^{2})^{49}.x-2x+3[/tex3]

[tex3]R(x)=1^{49}.x-2x+3[/tex3]

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[tex3]R(x)=1^{49}.x-2x+3[/tex3]

[tex3]R(x)=x-2x+3\rightarrow R(x)=-x+3[/tex3]

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[tex3]R(x)=x-2x+3\rightarrow R(x)=-x+3[/tex3]

[Liliana]

Entendi!!! Obrigada