Pré-Vestibular(UEPG - 2014) Soma de polinômios com várias incógnitas

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blaze8876
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Jul 2017 02 09:04

(UEPG - 2014) Soma de polinômios com várias incógnitas

Mensagem não lida por blaze8876 » Dom 02 Jul, 2017 09:04

A soma entre os polinômios P(x) e Q(x) é igual a 2x³ + 3x² -3x - 4. Sabendo-se que P([tex3]\sqrt{2}[/tex3] = 3, some as corretas:

(01) Q([tex3]\sqrt{2)}[/tex3] - P([tex3]\sqrt{2)}[/tex3] < 0
(02) P([tex3]\sqrt{2}[/tex3] )/Q([tex3]\sqrt{2)}[/tex3] ) = 3.(([tex3]\sqrt{2}[/tex3] )+1)
(04) P([tex3]\sqrt{2}[/tex3] ) + Q([tex3]\sqrt{2}[/tex3] ) = 6
(08) Q([tex3]\sqrt{2}[/tex3] )<0
(16) Q([tex3]\sqrt{2}[/tex3] ) é um número racional

Última edição: blaze8876 (Dom 02 Jul, 2017 09:04). Total de 1 vez.



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Lonel
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Re: (UEPG - 2014) Soma de polinômios com várias incógnitas

Mensagem não lida por Lonel » Seg 03 Jul, 2017 11:19

Determinando [tex3]Q(\sqrt{2})[/tex3] :

[tex3]P(x)+Q(x)=2x^3+3x^2-3x-4[/tex3]
[tex3]P(\sqrt{2})+Q(\sqrt{2})=2(\sqrt{2})^3+3(\sqrt{2})^2-3(\sqrt{2})-4[/tex3]
[tex3]3+Q(\sqrt{2})=2+\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]Q(\sqrt{2})=\sqrt{2}-1[/tex3]

Analisando as proposições:

01:

[tex3]Q(\sqrt{2})-P(\sqrt{2})<0[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}-1-3<0[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}<4[/tex3]

Como [tex3]\sqrt{2}[/tex3] é menor do que 4, a proposição 01 é verdadeira.

02:

[tex3]\frac{P(\sqrt{2})}{Q(\sqrt{2})}=\frac{3}{\sqrt{2}-1}[/tex3]

Racionalizando:

[tex3]\frac{P(\sqrt{2})}{Q(\sqrt{2})}=\frac{3(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}-1(\sqrt{2}+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{P(\sqrt{2})}{Q(\sqrt{2})}=\frac{3(\sqrt{2}+1)}{1}[/tex3]
[tex3]\frac{P(\sqrt{2})}{Q(\sqrt{2})}=3(\sqrt{2}+1)[/tex3]

Portanto a proposição 02 é verdadeira.

04:

Já provamos que esta soma é [tex3]2+\sqrt{2}[/tex3] , então a 04 é falsa.

08:

[tex3]Q(\sqrt{2})=\sqrt{2}-1[/tex3]

Como [tex3]\sqrt{2}>1[/tex3] , então [tex3]Q(\sqrt{2})>0[/tex3] . Assim, a proposição 08 é falsa.

16:

[tex3]Q(\sqrt{2})[/tex3] é uma soma de um número irracional com um número inteiro. Qualquer soma deste tipo nunca resultará em um número racional, assim a 16 é falsa.

Somatório: 01+02=03.

Última edição: Lonel (Seg 03 Jul, 2017 11:19). Total de 3 vezes.



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