Olá Nina, boa noite.
Observe a figura a seguir:
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Veja que o triangulo [tex3]\Delta ABC[/tex3]
é retângulo em [tex3]B[/tex3]
. Perceba, também que as diagonais são iguais [tex3]\overline{AC} = \overline{AD}[/tex3]
.
No triangulo retângulo [tex3]\Delta ABD[/tex3]
, foi informado que [tex3]\overline{BD}=1 \ dm[/tex3]
e [tex3]\overline{AB}=\sqrt{1+\sqrt{3}} \ dm[/tex3]
. Aplicando o teorema de Pitágoras em [tex3]\Delta ABD[/tex3]
, obtemos:
[tex3](\overline{AB})^2+(\overline{BD})^2=(\overline{AD})^2[/tex3]
. Substituindo os dados informados encontraremos a diagonal d:
[tex3](\sqrt{1+\sqrt{3}})^2 + 1^2 =d^2[/tex3]
[tex3]1+\sqrt{3}+1=d^2[/tex3]
[tex3]d^2=\sqrt{3}+2 \ dm[/tex3]
ou [tex3]d=\sqrt{2+\sqrt{3}}\ dm[/tex3]
.
Observe ainda, que [tex3]\Delta BCD[/tex3]
é equilátero [tex3]⟹ \ \ \overline{CD}=1 \ dm[/tex3]
Agora, podemos aplicar a lei dos cossenos no triangulo [tex3]\Delta ACD[/tex3]
, pois queremos o valor do angulo [tex3]\alpha[/tex3]
e temos os lados [tex3]\overline{AC} \ \ , \ \ \overline{AD} \ \ e \ \ \overline{CD}[/tex3]
. Aplicando a lei dos cossenos:
[tex3]1^{2}=(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2+(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2-2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}})\cdot cos \ \alpha[/tex3]
[tex3]1=2\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2-2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\cdot cos \ \alpha[/tex3]
[tex3]2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\cdot cos \ \alpha =2\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 -1[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{2\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 -1}{2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2}[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{2\cdot (2+\sqrt{3})-1}{2\cdot (2+\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{3+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}[/tex3]
. Multiplicando pelo conjugado:
[tex3]cos \ \alpha =\frac{(3+2\sqrt{3})\cdot (4-2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})\cdot (4-2\sqrt{3})}[/tex3]
. No numerador aplique a multiplicação e no denominador o produto notável - produto da soma pela diferença:
[tex3]cos \ \alpha =\frac{12-6\sqrt{3}+8\sqrt{3}-12}{4^2-(2\sqrt{3})^2}[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ ⟹ \ \ \alpha =30°[/tex3]
Att>>rodBR.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".