Pré-VestibularFUVEST) Geometria plana Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
nina
Pleno
Mensagens: 83
Registrado em: Sáb 09 Fev, 2013 22:37
Última visita: 08-03-23
Jun 2017 22 20:55

FUVEST) Geometria plana

Mensagem não lida por nina »

As páginas de um livro medem 1dm de base e [tex3]\sqrt{1+ \sqrt{3} }[/tex3] dm de altura. Se este livro foi parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, determine a medida do ângulo α, formado pelas diagonais das páginas.
14725600_935638899875843_5797576767502423081_n.png
14725600_935638899875843_5797576767502423081_n.png (12.39 KiB) Exibido 7106 vezes
Resposta

30 graus
Desde já obrigada!

Última edição: nina (Qui 22 Jun, 2017 20:55). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
rodBR
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 592
Registrado em: Sáb 28 Jan, 2017 22:37
Última visita: 04-03-24
Jun 2017 22 22:38

Re: FUVEST) Geometria plana

Mensagem não lida por rodBR »

Olá Nina, boa noite.

Observe a figura a seguir:
12.png
12.png (28.59 KiB) Exibido 7098 vezes
Veja que o triangulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] é retângulo em [tex3]B[/tex3] . Perceba, também que as diagonais são iguais [tex3]\overline{AC} = \overline{AD}[/tex3] .

No triangulo retângulo [tex3]\Delta ABD[/tex3] , foi informado que [tex3]\overline{BD}=1 \ dm[/tex3] e [tex3]\overline{AB}=\sqrt{1+\sqrt{3}} \ dm[/tex3] . Aplicando o teorema de Pitágoras em [tex3]\Delta ABD[/tex3] , obtemos:
[tex3](\overline{AB})^2+(\overline{BD})^2=(\overline{AD})^2[/tex3] . Substituindo os dados informados encontraremos a diagonal d:
[tex3](\sqrt{1+\sqrt{3}})^2 + 1^2 =d^2[/tex3]
[tex3]1+\sqrt{3}+1=d^2[/tex3]
[tex3]d^2=\sqrt{3}+2 \ dm[/tex3] ou [tex3]d=\sqrt{2+\sqrt{3}}\ dm[/tex3] .

Observe ainda, que [tex3]\Delta BCD[/tex3] é equilátero [tex3]⟹ \ \ \overline{CD}=1 \ dm[/tex3]

Agora, podemos aplicar a lei dos cossenos no triangulo [tex3]\Delta ACD[/tex3] , pois queremos o valor do angulo [tex3]\alpha[/tex3] e temos os lados [tex3]\overline{AC} \ \ , \ \ \overline{AD} \ \ e \ \ \overline{CD}[/tex3] . Aplicando a lei dos cossenos:
[tex3]1^{2}=(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2+(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2-2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}})\cdot cos \ \alpha[/tex3]
[tex3]1=2\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2-2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\cdot cos \ \alpha[/tex3]
[tex3]2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\cdot cos \ \alpha =2\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 -1[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{2\cdot (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 -1}{2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2}[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{2\cdot (2+\sqrt{3})-1}{2\cdot (2+\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{3+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}[/tex3] . Multiplicando pelo conjugado:
[tex3]cos \ \alpha =\frac{(3+2\sqrt{3})\cdot (4-2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})\cdot (4-2\sqrt{3})}[/tex3] . No numerador aplique a multiplicação e no denominador o produto notável - produto da soma pela diferença:
[tex3]cos \ \alpha =\frac{12-6\sqrt{3}+8\sqrt{3}-12}{4^2-(2\sqrt{3})^2}[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]cos \ \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ ⟹ \ \ \alpha =30°[/tex3]


Att>>rodBR.

Última edição: rodBR (Qui 22 Jun, 2017 22:38). Total de 1 vez.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

Avatar do usuário
Autor do Tópico
nina
Pleno
Mensagens: 83
Registrado em: Sáb 09 Fev, 2013 22:37
Última visita: 08-03-23
Jun 2017 23 12:16

Re: FUVEST) Geometria plana

Mensagem não lida por nina »

Valeu cara, ótima resolução... eu tava travada aí na lei dos cossenos porque sou um lixo com matemática básica.




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Pré-Vestibular”